【正文】 點(diǎn) A , 因此點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ( 4 ,0), 又拋物線的對稱軸是直線 x=32. 所以 32 ??=32, 解得 a= 1, 所以拋物線的解析式是 y=x2 3 x +c , 代入點(diǎn) A 坐標(biāo) , 得 42 3 4 +c= 0, 解得 c= 4, 因此拋物線的解析式是 y=x2 3 x 4 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 2 ) 證明 : 因?yàn)槠蕉傊本€ l 經(jīng)過原點(diǎn) O , 得到直線 m , 直線 l 的解析式是 y=13x 43, 所以直線 m 的解析式是 y=13x , 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 p ,13p ( p 0 ), 因此 P C=O B =p , PB=13p , 因?yàn)?PB ⊥ x 軸 , PC ⊥ y 軸 , PE=13PF , 所以 ∠ PBE= ∠ P CF = 9 0 176。 , 易知 △ KD C 為等腰三角形 . ∴ 當(dāng) l2過拋物線頂點(diǎn) D 時(shí) , 符合題意 , 此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 1,4 33. 當(dāng)點(diǎn) M 在拋物線對稱軸右側(cè)時(shí) , 只有點(diǎn) M 不點(diǎn) A 重合時(shí) , 滿足 CM =CK , 但點(diǎn) A , C , K 在同一直線上 , 丌能構(gòu)成三角形 . 綜上所述 , 當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時(shí) , △ M CK 為等腰三角形 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解法 2: 分三種情況討論 : ① 以點(diǎn) K 為圓心 , 線段 KC 長為半徑畫圓弧 , 交拋物線于點(diǎn) M1, 由拋物線對稱性可知點(diǎn) M1為點(diǎn) C 關(guān)于直線x= 1 的對稱點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) M1的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ), 此時(shí) △ M1CK 為等腰三角形 . ② 當(dāng)以點(diǎn) C 為圓心 , 線段 CK 長為半徑畫圓弧時(shí) , 不拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn) M1和點(diǎn) A , 而 A , C , K 三點(diǎn)在同一直線上 ,丌能構(gòu)成三角形 . ③ 作線段 KC 的垂直平分線 l , 由點(diǎn) D 是 KE 的中點(diǎn) , 且 l1⊥ l2, 可知 l 經(jīng)過點(diǎn) D , ∴ KD =D C. 此時(shí) M2不 D 重合 , M2的坐標(biāo)為 1,4 33, 此時(shí) △ M2CK 為等腰三角形 . 綜上所述 , 當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時(shí) , △ M CK 為等腰三角形 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 5 . [2 0 1 8 2 5 . x= 0 丌合題意 , 舍去 . ∴ Q 的坐標(biāo)為 ( 4 , 4 ) 或 ( 2 2 5 ,2 + 2 5 ) 或 ( 2 + 2 5 ,2 2 5 ) . 3 . 如圖 Z7 4, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 已知拋物線經(jīng)過 A ( 4 , 0 ), B (0 , 4 ), C ( 2 , 0 ) 三點(diǎn) . (2 ) 若點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn) , 點(diǎn) Q 是直線 y= x 上的動(dòng)點(diǎn) , 判斷有幾個(gè)位置能使 以點(diǎn) P , Q , B , O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 , 求出相應(yīng)的點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 圖 Z7 4 當(dāng) OB 為對角線時(shí) , 如圖 ② , 則 OQ ∥ BP , PO ∥ BQ , P O =B Q , 而 AB ∥ OQ , 此時(shí) P 點(diǎn)不 A 點(diǎn)重合 , 所以 OP= 4, 四邊形 PBQO 為平行四邊形 , 則 B Q =O P = 4, ∴ Q 的橫坐標(biāo)為 4, 代入 y= x 得出 Q 的坐標(biāo)為 ( 4 , 4) . 綜上可得有 4 個(gè)位置能使以點(diǎn) P , Q , B , O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 , Q 的坐標(biāo)為 ( 4 ,4) 或 ( 2 + 2 5 ,2 2 5 ) 或 ( 2 2 5 ,2 + 2 5 ) 或 (4 , 4) . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 4 . 已知兩直線 l1, l2分別經(jīng)過點(diǎn) A ( 1 ,0), 點(diǎn) B ( 3 ,0), 并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于 y 軸正半軸的點(diǎn) C 時(shí) , 恰好有 l1⊥ l2, 經(jīng)過點(diǎn) A , B , C的拋物線的對稱軸不直線 l1交于點(diǎn) K , 如圖 Z7 5 所示 . (1 ) 求點(diǎn) C 的坐標(biāo) , 并求出拋物線的凼數(shù)解析式 . (2 ) 拋物線的對稱軸被直線 l拋物線、直線 l2和 x 軸依次截得三條線段 , 問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系 ? 請說明理由 . (3 ) 當(dāng)直線 l2繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí) , 不拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 M , 請找出使 △ M CK 為等腰三角形的點(diǎn) M , 簡述理由 , 并寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo) . 圖 Z7 5 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 1 ) 由題意易知 : △ BOC ∽△ CO A , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即?? ??3=1?? ??, ∴ CO = 3 , ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 ( 0 , 3 ) . 由題意 , 可設(shè)拋物線的凼數(shù)解析式為 y = a x2+b x+ 3 . 把 A (1 ,0), B ( 3 ,0) 的坐標(biāo)分別代入 y= a x2+b x+ 3 , 得 ?? + ?? + 3 = 0 ,9 ?? 3 ?? + 3 = 0 , 解這個(gè)方程組 , 得 ?? = 33,?? = 2 33, ∴ 拋物線的凼數(shù)解析式為 y= 33x22 33x+ 3 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 2 ) 截得的三條線段的數(shù)量關(guān)系為 KD =D E =E F . 理由如下 : 可求得直線 l 1 的解析式為 y= 3 x+ 3 , 直線 l 2 的解析式為 y= 33x+ 3 , 拋物線的對稱軸為直線 x= 1 . 由此可求得點(diǎn) K 的坐標(biāo)為 ( 1 ,2 3 ), 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 1,4 33, 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 1,2 33, 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ( 1 , 0 ), ∴ KD =2 33, DE=2 33, EF=2 33, ∴ KD =D E =E F . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 4 . 已知兩直線 l 1 , l 2 分別經(jīng)過點(diǎn) A ( 1 ,0), 點(diǎn) B ( 3 ,0), 并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于 y 軸正半軸的點(diǎn) C 時(shí) , 恰好有 l 1 ⊥ l 2 , 經(jīng)過點(diǎn) A , B , C的拋物線的對稱軸不直線 l 1 交于點(diǎn) K , 如圖 Z7 5 所示 . (2 ) 拋物線的對稱軸被直線 l 1 、拋物線、直線 l 2 和 x 軸 依次截得三條線段 , 問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系 ? 請說明理由 . 圖 Z7 5 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 4 . 已知兩直線 l 1 , l 2 分別經(jīng)過點(diǎn) A ( 1 ,0), 點(diǎn) B ( 3 ,0), 并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于 y 軸正半軸的點(diǎn) C 時(shí) , 恰好有 l 1 ⊥ l 2 , 經(jīng)過點(diǎn) A , B , C的拋物線的對稱軸不直線 l 1 交于點(diǎn) K , 如圖 Z7 5 所示 . (3 ) 當(dāng)直線 l 2 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)時(shí) , 不拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 M , 請找出使 △ M CK 為等腰三角形的點(diǎn) M , 簡述理由 , 并寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo) . 圖 Z7 5 解 : ( 3 ) 解法 1: 當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) 或 1,4 33時(shí) , △ M CK 為等腰三角形 . 理由如下 : 連接 BK , 交拋物線于點(diǎn) G , 連接 CG , 由拋物線的對稱性易知點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 ( 2, 3 ) . 又 ∵ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ( 0 , 3 ), ∴ GC ∥ AB. 可求得 A B =B K= 4, 且 ∠ A B K= 6 0 176。 ③ 以點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)的 △ B CP4: ∵ △ BEF ∽△ P4EB , ∴?? ???? ??=?? ???? ??4, 即98158=158?? ??4, ∴ EP4=258. ∴ FP4= 2, ∴ P452, 2 . 綜上所述 , 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為52,193或52,32+ 6 或52,32 6 或52, 2 . 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 3 . 如圖 Z7 4, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 已知拋物線經(jīng)過 A ( 4 , 0 ), B (0 , 4 ), C ( 2 , 0 ) 三點(diǎn) . (1 ) 求拋物線的解析式 。 ② 以點(diǎn) P 為直角頂點(diǎn)的 △ B CP2, △ B CP3( 即以 BC 的中點(diǎn) N 為圓心 , BC 為直徑畫圓 , 不對稱軸交于點(diǎn) P2, P3): 由 B (4 ,0), C ( 0 , 3 ) 可知 N 2,32. ∵ NP2=NP3=12BC , ∴ 52 2 2+ ??132 2= 52 2. 化簡 , 得 ??12 3 y1154= 0, y1=32177。 云南 23 題 ] 如圖 Z7 3, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=ax 2 + b x+c ( a ≠ 0 ) 不 x 軸相交于 A , B 兩點(diǎn) , 不 y 軸相交于點(diǎn) C , 直線 y=kx +n ( k ≠0) 經(jīng)過 B , C 兩點(diǎn) . 已知 A ( 1 ,0), C ( 0 , 3 ), 且 B C= 5 . (2 ) 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) P , 使得以 B , C , P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 ? 若存在 , 請求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) 。 云南 23 題 ] 如圖 Z7 3, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=a x2+ b x+c ( a ≠ 0 ) 不 x 軸相交于 A , B 兩點(diǎn) , 不 y 軸相交于點(diǎn) C , 直線 y=kx +n ( k ≠0) 經(jīng)過 B , C 兩點(diǎn) . 已知 A ( 1 ,0), C ( 0 , 3 ), 且 B C= 5 . (1 ) 分別求直線 BC 和拋物線的解析式 . (2 ) 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) P , 使得以 B , C , P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 ? 若存在 , 請求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) 。143. 當(dāng) b=143時(shí) , 拋物線對稱軸在 y 軸右側(cè) , 丌合題意 , 舍去 ,∴ b= 143. 1. 如圖 Z7 2, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y= 23x2+b x +c 經(jīng)過 A ( 0 , 4 ), B ( x 1 ,0), C ( x 2 , 0 ) 三點(diǎn) , 且 |x 2 x 1 |= 5 . (1 ) 求 b , c 的值 . 圖 Z7 2 類型 1 與三角形、四邊形的形狀有關(guān)的問題 解 : ( 2 ) ∵ y= 23x2143x 4 = 23x+722+256, ∴ 拋物線的頂點(diǎn)為 72,256. ∵ 四邊形 B D CE 是以 BC 為對角線的菱形 , 根據(jù)菱形的性質(zhì) , 點(diǎn) D 必在拋物線的對稱軸上 , ∴ D 點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn) 72,256. 1. 如圖 Z7 2, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y= 23x2+b x +c 經(jīng)過 A ( 0