【正文】 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過 △ OAB 的三個頂點 , 其中點 A (1, 3 ), 點 B (3, 3 ), O 為坐標原點 . (3) 若 C 為線段 AB 上的一個動點 , 當點 A , 點 B 到直線 OC 的距離之 和最大時 , 求 ∠ BOC 的大小及點 C 的坐標 . 圖 Z8 3 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 如圖所示 , 過點 A 作 AD ⊥ OC 于點 D , 過點 B 作 BE ⊥ OC 于點 E. ∵ S △ A O B =S △ A O C +S △ B O C =12OC AD+12OC BE ,∴ AD+B E=2 ??△ ?? ?? ???? ??. 欲使點 A , 點 B 到直線 OC 的距離之和最大 , 則 OC 必須最小 , 當且僅當 OC ⊥ AB 時 , OC 最小 , 此時 D , E , C 重合 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 根據(jù)題意 , 易得 O A= 2, OB= 2 3 , AB= 4 . ∵ OA2+OB2= 16, AB2= 16, ∴ OA2+OB2=AB2.∴ △ OAB 是直角三角形 . ∵ S △ A O B =12OA O B=12OC AB ,∴ OC=?? ?? ?? ???? ??= 3 .∵ cos ∠ BOC =?? ???? ??=12,∴∠ BOC = 60176。 . 過點 C 作 CM ⊥ x 軸于點 M. ∵ tan ∠ BOM= 33,∴∠ BOM= 3 0176。 .∴∠ COM= 60176。 30176。 = 30176。 . ∴ CM= sin ∠ COM O C= 32, OM= cos ∠ COM OC=32.∴ 點 C 的坐標是32, 32. 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 3 [2022龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (1)當頂點坐標為 (1,0)時 ,求拋物線的表達式 。 (2)當 b=2時 ,M(m,y1),N(2,y2)是拋物線上的兩點 ,且 y1y2,求實數(shù) m的取值范圍 。 (3)若拋物線上的點 P(s,t),滿足 1≤s≤1時 ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 解 :(1 ) 由已知 , 得 ??2= 1 ,4 ?? ??24= 0 . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 拋物線的表達式為 y=x 2 2 x+ 1 . (2) 當 b= 2 時 , y=x2+ 2 x+c , 對稱軸為直線 x= 22= 1, 如圖 , 在拋物線上取不 N 關(guān)于對稱軸 x= 1 對稱的點 Q , 由 N (2, y 2 ), 得 Q ( 4, y 2 ) . 又 ∵ M ( m , y 1 ) 是拋物線上的點 , 且 y 1 y 2 , 由函數(shù)增減性 , 得 m 4 戒 m 2 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 3 [2022龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (3)若拋物線上的點 P(s,t),滿足 1≤s≤1時 ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 分三種情況討論 : ① 當 ??2 1, 即 b 2 時 , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 3 ,?? = 3 . ② 當 1 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 2 時 , x= ??2時 , 函數(shù)值 y 取最小值 . ( ⅰ ) 若 0 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 0 時 , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ??1= 4 2 6 ,??1= 11 4 6 , ??2= 4 + 2 6 ,??2= 11 + 4 6 ( 舍去 ) . ( ⅱ ) 若 1 ≤ ??2 0, 即 0 b ≤ 2 時 , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 177。 2 2 ,?? = 3 ( 舍去 ) . ③ 當 ??2 1, 即 b 2 時 , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 4 + ?? ,1 + ?? + ?? = 1 . 解得 ?? = 1 ,?? = 1 ( 舍去 ) . 綜上可知 , b= 3, c= 3 戒 b= 4 2 6 , c= 11 4 6 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 深圳 ] 已知頂點為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點 B 32,2 , 點 C52,2 . (1 ) 求拋物線的解析式 。 (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點 M , 不 y 軸相交于點 E , 拋物線不 y 軸相交于點 F , 在直線 AB 上有一點 P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 (3 ) 如圖 ② , 點 Q 是折線 A B C 上一點 , 過點 Q 作 QN ∥ y 軸 , 過點 E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點 N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN1, 若點 N1落在 x 軸上 , 請直接寫出點 Q 的坐標 . 圖 Z8 4 解 :(1 ) 將 B 32,2 代入 y=a ?? 12 2 2, 得 2 =a 32 12 2 2 . 解得 a= 1 . ∴ 拋物線的 解析式為 y= ?? 12 2 2 =x 2 x 74. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 深圳 ] 已知頂點為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點 B 32,2 , 點 C52,2 . (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點 M , 不 y 軸相交于點 E , 拋物線不 y 軸相交于點 F , 在直線 AB 上有一點 P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (2) ∵ 拋物線的解析式為 y= ?? 12 2 2, ∴ 頂點 A 的坐標為12, 2 . 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b. 將 A12, 2 , B 32,2 代入 y=k x+b , 得 2 =12?? + ?? ,2 = 32?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 直線 AB 的解析式為 y= 2 x 1, 當 x= 0 時 , y= 2 0 1 = 1 . ∴ 點 E 的坐標為 (0, 1), ∴ OE= 1 . 當 y= 0 時 ,0 = 2 x 1, 解得 x= 12.∴ 點 M 的坐標為 12,0 . ∵ 拋物線的解析式為 y=x2 x 74,∴ 點 F 的坐標為 0, 74,∴ FE= 1 74=34. ∵∠ O PM= ∠ M AF , 即 ∠ O PE= ∠ EAF , 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 又 ∵∠ O EP= ∠ AEF ,∴ △ OPE ∽△ FAE .∴?? ???? ??=?? ???? ??=134=43.∴ OP=43FA. 又 ∵ AF= 12 0 2+ 2 +74 2= 14+116= 54, ∴ OP=43AF= 5443= 53. 設(shè)點 P ( t , 2 t 1), 則 OP= ??2+ ( 2 ?? 1 )2= 53, 解得 t 1 = 215, t 2 = 23. ∵ 當 t 1 = 215時 , S △ POE =12OE |x P |=12 1 215=115, 當 t 2 = 23時 , S △ P O E =12OE |x P |=12 1 23=13,∴ △ POE 的面積為115戒13. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 例 2 [2022 深圳 ] 已知頂點為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點 B 32,2 , 點 C52,2 . (3) 如圖 ② , 點 Q 是折線 A B C 上一點 , 過點 Q 作 QN ∥ y 軸 , 過點 E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點 N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 若點 N 1 落在 x 軸上 , 請直接寫出點 Q 的坐標 . 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (3) 當點 Q 在線段 AB 上時 , 可設(shè)點 Q 的坐標為 ( m , 2 m 1), 則 N 的坐標為 ( m , 1), 則 QN= 2 m 1 ( 1) = 2 m , EN= m.由將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 = Q N= 2 m , EN 1 =EN = m. 設(shè)點 N 1 的坐標為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x m )2+ (2 m+ 1)2, E ??12=x2+ 12.∴ ( x m )2+ (2 m+ 1)2= ( 2 m )2① , x2+ 12= ( m )2② . 由 ① 得 ( x m )2= 4 m 1, 解得x=m177。 4 ?? 1 , x2= ( m177。 4 ?? 1 )2=m2 4 m 1 177。 2 m 4 ?? 1 . 由 ② 得 x2=m2 1, ∴ m2 4 m 1 177。 2 m 4 ?? 1 =m2 1 . 化簡 ,得 4 ?? 1 = 2 戒 4 ?? 1 = 2( 丌可能 , 故舍去 ), ∴ 4 m 1 = 22= 4, 解得 m= 54. ∴ Q 點的坐標為 54,32. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 當點 Q 在線段 BC 上時 , 如圖 , 可設(shè)點 Q 的坐標為 ( n ,2), 則 N 的坐標為 ( n , 1), 則 Q N= 2 ( 1) = 3, EN=| n|. 由將△ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 =QN= 3, EN 1 =EN =| n|. 設(shè)點 N 1 的坐標為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x n )2+ 22, E ??12=x2+ 12. ∴ ( x n )2+ 22= 32① , x2+ 12=n2② . 由 ① 得 ( x n )2= 5, 解得 x=n 177。 5 , x2= ( n177。 5 )2=n2177。 2 5 n+ 5 . 由 ② 得 x2=n2