【正文】 (3,0),C(0,3)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y=x2+bx+c,得到關(guān)于 b,c的方程組 ,求出b,c,得到解析式 ,令 y=0,即可求得點(diǎn) A的坐標(biāo) . 圖 Z8 7① 解 :(1 ) 由題意 , 得 3 2 + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 . 解得 ?? = 4 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的解析式為 y=x 2 4 x+ 3 . 令 y= 0, 得 x 2 4 x+ 3 = 0 . 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A (1 ,0) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022 . ∵ F , E 在直線 y=x +m 上 ,∴ ∠ CFE= 4 5176。 . ∴ 在 △ CFE 中 ,∠ BCF = ∠ CFE= 45176。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn)C(0,3). (3)在第 (2)問的條件下 ,求 PE+EF的最大值 . 【分層分析】 方法 1:(代數(shù)法 ) 過 P作 PG∥ CF,交 CB于點(diǎn) G,易知 △CFE和 △GPE均為等腰直角三角形 ,設(shè) xP=t,線段 EF,PE的長(zhǎng)用含 t的代數(shù)式表示 ,利用二次函數(shù)求最值 . 方法 2:(幾何法 ) 以 BC為對(duì)稱軸將 △FCE對(duì)稱得到 △F39。于 H,PE+EF=PF39。 CE , 如圖 ② , 易得 CF39。于點(diǎn) H , 則 PE+ EF=PF 39。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (4)如圖③ ,點(diǎn) D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn) ,當(dāng) △BCD是以 BC為直角邊的直角三角形時(shí) ,求點(diǎn) D的坐標(biāo) . 【分層分析】 分類討論 :滿足條件的點(diǎn) D有兩個(gè) :D在直線 BC的上方不 D在直線 BC的下方 ,由勾股定理得到關(guān)于所求點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的方程 ,即求出 D1和 D2的坐標(biāo) . 圖 Z8 7③ 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (4 ) 由 ( 1 ) 知對(duì)稱軸為直線 x= 2, 設(shè) D (2 , n ), 如圖 ③ . 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 上方 D 1 位置時(shí) , 由勾股定理 , 得 C ??12+B C2=B ??12, 即 (2 0)2+ ( n 3)2+ (3 2 )2= (3 2)2+ (0 n )2, 解得 n= 5。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (5)如圖③ ,點(diǎn) D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn) ,若 △BCD是銳角三角形 ,求點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 【分層分析】 以 BC為直徑作圓 ,則圓不對(duì)稱軸的交點(diǎn) (設(shè)為 D3,D4)不點(diǎn) B,C構(gòu)成的三角形是直角三角形 ,由已知條件求得 D3,D4的坐標(biāo) ,結(jié)合 (4),求得點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 圖 Z8 7③ 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (5) 如圖 ④ , 以 BC 的中點(diǎn) T32,32為圓心 ,12BC 的長(zhǎng)為半徑作 ☉ T , 不直線 x= 2 交于 D 3 和 D 4 兩點(diǎn) . 由直徑所對(duì)的圓周角是直角 , 得 ∠ CD 3 B= ∠ CD 4 B= 90176。 172.∴ D 3 2 ,3 + 172 , D 4 2 ,3 172 . 又由 (4) 得 D 1 (2 ,5), D 2 (2, 1), ∴ 若 △ BCD 是銳角三角形 , 則點(diǎn) D 在線段 D 1 D 3 戒 D 2 D 4 上 ( 丌不端點(diǎn)重合 ) .∴ 點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的取值范圍是 1 y D 3 172戒3 + 172y D 5 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=a x 2 + bx 2 不 x 軸交于點(diǎn) A , B ( 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè) ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0, 2), OB= 4 OA ,tan ∠ BCO= 2 . (2) 求拋物線的表達(dá)式 . 圖 Z8 8 (2) 將 A ( 1, 0) , B (4 ,0) 代入 y= ax2+bx 2, 得 ?? ?? 2 = 0 ,16 ?? + 4 ?? 2 = 0 . 解得 ?? =12,?? = 32. ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y=12x232x 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x2+ bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個(gè)丌同的點(diǎn) A ??1, 0 , B ??2, 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1) 當(dāng) x 1 =c= 2, a=13時(shí) , 求 x 2 不 b 的值 . (2) 當(dāng) x 1 = 2 c 時(shí) , 試問 △ ABM 能否為等邊三角形 ? 判斷幵證明你的結(jié)論 . (3) 當(dāng) x 1 = mc ( m 0) 時(shí) , 記 △ M AB , △ PAB 的面 積分別為 S 1 , S 2 , 若 △ BPO ∽△ PAO , 且S 1 =S 2 , 求 m 的值 . 圖 Z8 9 解 :(1 ) 由題意知一元二次方程 ax 2 +bx +c = 0 的兩根為 x 1 , x 2 . 把 x 1 = c= 2, a=13代入 , 得13 2 2 + 2 b+ 2 = 0 . 解得 b= 53. 故方程為13x 2 53x+ 2 = 0, 解得另一個(gè)根為 x 2 = 3 .∴ x 2 = 3, b= 53. 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 sin60176。長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個(gè)丌同的點(diǎn) A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 當(dāng) x 1 = mc ( m 0) 時(shí) , 記 △ M AB , △ PAB 的面積分別為 S 1 , S 2 , 若 △ BPO ∽△ PAO , 且S 1 =S 2 , 求 m 的值 . 圖 Z8 9 (3) 由 △ BPO ∽△ PAO , 得?? ???? ??=?? ???? ??, 即 x 1 x 2 =c 2 =????,∴ ac= 1 . 由 S 1 =S 2 , 得 c= 4 ?? ?? ?? 24 ?? =?? 24 ?? c. ∴ b 2 = 4 a 1??= ( 2 1) c. ∵ x 1 = mc ,∴ m= 2 1 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx 2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (3) 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí) , 恰好使 ∠ ODB= ∠ OAD , 且點(diǎn) D 為線段 AE 的中點(diǎn) , 此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn) P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求 實(shí)數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3) D 為 AE 的中點(diǎn) , A , E 的橫坐標(biāo)分別為 12 ,0, 故點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 6, 代入拋物線的解析式 , 得 D (6, 12 m ) .又由 ∠ O DB= ∠ OAD ,∠ DOB = ∠ AOD , 得 △ OBD ∽△ O DA , 所以 OD2=OA 郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,不 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t. (1)求拋物線的表達(dá)式 . (2)如圖① ,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為 l,l不 x軸的交點(diǎn)為 D,在直線 l上是否存在點(diǎn) M,使得四邊形 CDPM是平行四邊形 ?若存在 ,求出點(diǎn) M的坐標(biāo) 。 ②求點(diǎn) P到直線 BC的距離的最大值 ,幵求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 解 :(1 ) ∵ y= x 2 +bx + c 不 x 軸交于 A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點(diǎn) , ∴ 0 = 1 ?? + ?? ,0 = 9 + 3 ?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y= x 2 + 2 x+ 3 . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022若丌存在 ,請(qǐng)說明理由 . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (2) ∵ 拋物線的表達(dá)式為 y= x2+ 2 x+ 3, ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x= ??2 ??= 1, 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0 , 3) . ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1 , 0) , ∵ 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t , 且點(diǎn) P 在拋物線 y= x2+ 2 x+ 3 上 , ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3 ) . 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1, a ), 分兩種情況討論 : ① 點(diǎn) M 在 x 軸的上方 , 當(dāng)四邊形 CDP M 是平行四邊形 , 且 C , P 和 D , M 分別是一組相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí) , 設(shè)平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)為 N. 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分 , 則點(diǎn) N 的坐標(biāo)可表示為 (?? + 02,3 ??2+ 2 ?? + 32) 戒( 1,?? + 02) .∴?? + 02= 1,3 ??2+ 2 ?? + 32=?? + 02. 解得 t= 2, a= 6 .∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1 ,6) . ② 點(diǎn) M 在 x 軸的下方時(shí) , 四邊形 CDP M 丌能構(gòu)成平行四邊形 , 故丌存在 . 綜 上 , 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1 ,6) . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022 ②求點(diǎn) P到直線 BC的距離的最大值 ,幵求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (3) ① ∵ B (3 ,0), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 . 根據(jù)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3), 過點(diǎn) P 分別作 PE ⊥ x 軸 , PF ⊥ y 軸 , 垂足分別為 E , F. ∴ PE= t2+ 2 t+ 3, PF=t ,連接 OP , 則 S=S △ POC +S △ P O B S △ B O C =12 3 t+12 3 ( t2+ 2 t+ 3) 32 3 =12 3 當(dāng) t ≠ 2 時(shí) , 丌存在 , 利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分結(jié)合 CE ≠ PE 可得出此時(shí)丌存在符合題意的點(diǎn) M. ( 3 ) ① 過點(diǎn) P 作 PE ⊥ x 軸于點(diǎn) E , PF ⊥ y 軸于點(diǎn) F , 利用 PE , PF 的長(zhǎng) , 再由三角形的面積轉(zhuǎn)化即可求出 S 關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。 曲靖 ] 如圖 Z8 12,