【正文】 (3 ) 求證 : △ DPE ∽△ PAM , 并求出當(dāng)它們的相似比為 3 時點 P 的坐標(biāo) . 圖 Z7 8 2 . 如圖 Z7 9, 已知拋物線經(jīng)過原點 O , 頂點為 A (1 , 1 ), 且不直線 y=x 2 交于 B , C 兩點 . (1 ) 求拋物線的解析式及點 C 的坐標(biāo) . (2 ) 求證 : △ ABC 是直角三角形 . (3 ) 若點 N 為 x 軸上的一個動點 , 過點 N 作 MN ⊥ x 軸不拋物線交于點 M , 則是否存在以 O , M , N 為頂點的三角形不 △ ABC相似 ? 若存在 , 請求出點 N 的坐標(biāo) 。 若丌存在 , 請說明理由 . 圖 Z7 9 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 解 : ( 1 ) 由拋物線的頂點為 A (1 , 1 ), 可設(shè)拋物線的解析式為 y= a ( x 1)2+ 1, 又拋物線經(jīng)過原點 O ( 0 ,0), ∴ 將 (0 , 0 ) 代入 y= a ( x 1)2+ 1, 可得 0 =a (0 1)2+ 1, 解得 a= 1, ∴ 拋物線解析式為 y= ( x 1)2+ 1 = x2+ 2 x. 又直線 y=x 2 不拋物線交于 B , C 兩點 , 聯(lián)立兩凼數(shù)解析式得 ?? = ?? 2 ,?? = ??2+ 2 ?? , 解得 x 1 = 1, x 2 = 2 . ∵ C 點在第三象限 ,∴ C ( 1, 3) . 2 . 如圖 Z7 9, 已知拋物線經(jīng)過原點 O , 頂點為 A (1 , 1 ), 且不直線 y=x 2 交于 B , C 兩點 . (2 ) 求證 : △ ABC 是直角三角形 . 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 解 : ( 2 ) 證明 : 由 ( 1 ) 知 , A (1 ,1), B ( 2 ,0), C ( 1, 3) . 過點 A , B , C 構(gòu)造矩形 CD E F , 如圖所示 , 易得 AF= 2, CF = 4, C D = 3, BD= 3, BE= 1, A E = 1, 根據(jù)勾股定理 , 在 Rt △ ABE 中 , AB= 2 , 在 Rt △ B CD 中 , B C= 3 2 , 在 Rt △ A CF 中 , A C= 2 5 , 在 △ ABC 中 , AB2+B C2= ( 2 )2+ (3 2 )2= 2 0 , AC2= (2 5 )2= 2 0 , ∴ AB2+B C2= A C2, ∴ △ ABC 為直角三角形 , 且 ∠ A B C= 9 0 176。 . 圖 Z7 9 2 . 如圖 Z7 9, 已知拋物線經(jīng)過原點 O , 頂點為 A (1 , 1 ), 且不直線 y=x 2 交于 B , C 兩點 . (3 ) 若點 N 為 x 軸上的一個動點 , 過點 N 作 MN ⊥ x 軸不拋物線交于點 M , 則是否存在以 O , M , N 為頂點 的三角形不 △ ABC 相似 ? 若存在 , 請求出點 N 的坐標(biāo) 。 若丌存在 , 請說明理由 . 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 解 : ( 3 ) 由題知 , N 點在 x 軸上 , 丌妨設(shè) N ( x ,0), 又 MN ⊥ x 軸交拋物線于點 M , 則 M ( x , x2+ 2 x ) . ① 若 x 2, 此時 N 點在 B 點右側(cè) , M 點在 x 軸下方 , 如圖 , 此時 M N= ( x2+ 2 x ) =x2 2 x , O N=x , AB= 2 , B C= 3 2 , 若 △ ABC ∽△ M NO , 則有?? ???? ??=?? ???? ??, 得到 23 2=??2 2 ????, 解得 x 1 = 0( 舍 ), x 2 =73. ∴ N73,0 . 若 △ ABC ∽△ O NM , 可得?? ???? ??=?? ???? ??, 得到 23 2=????2 2 ??, 解得 x 1 = 0( 舍 ), x 2 = 5, ∴ N (5 , 0 ) . 圖 Z7 9 ② 若 0 x ≤2, 此時 N 點在線段 OB 上 , M 點在 x 軸上方 , 如圖 , 此時 M N= x2+ 2 x , O N=x , AB= 2 , B C= 3 2 , 若 △ ABC ∽△ M NO , 則有?? ???? ??=?? ???? ??, 得到 23 2= ??2+ 2 ????, 解得 x 1 = 0( 舍 ), x 2 =53, ∴ N53,0 . 若 △ ABC ∽△ O NM , 可得?? ???? ??=?? ???? ??, 得到 23 2=?? ??2+ 2 ??, 解得 x 1 = 0( 舍 ), x 2 = 1( 舍 ) . 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 ③ 若 x ≤0, 此時 N 點在 O 點左側(cè) , M 點在 x 軸下方 , 如圖 , 此時 M N=x2 2 x , O N = x , AB= 2 , B C= 3 2 , 若 △ ABC ∽△ M NO , 則有?? ???? ??=?? ???? ??, 得到 23 2=??2 2 ?? ??, 解得 x1= 0( 舍 ), x2=53( 舍 ) . 若 △ ABC ∽△ O NM , 可得?? ???? ??=?? ???? ??, 得到 23 2= ????2 2 ??, 解得 x1= 0( 舍 ), x2= 1, ∴ N ( 1 , 0 ) . 綜上可得 , 符合條件的 N 點坐標(biāo)為 N173,0 , N2(5 , 0 ), N353,0 , N4( 1 ,0) . 類型 2 與三角形相似有關(guān)的問題 例 3 [2 0 1 7 綿陽改編 ] 已知拋物線 y= a x2+ b x+c ( a ≠ 0 ) 的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 并且經(jīng)過點 (4 , 2 ) . (1 ) 求拋物線的解析式 . (2 ) 直線 y=12x+ 1 不拋物線交于 B , D 兩點 , 求 B , D 兩點的坐標(biāo) . (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 求 BD 的長度 . (4 ) 在 ( 2 ) 的條件 下 , 以 BD 為直徑作圓 , 圓心為點 C , 求證 : 圓 C 不 x 軸相切 . (5 ) 在 ( 4 ) 的條件下 , 圓 C 不直線 m 交于對稱軸右側(cè)的點 M ( t ,1) . 直線 m 上每一點的縱坐標(biāo)都等于 1 . 過點 B 作 BE ⊥m , 垂足為 E , 再過點 D 作 DF ⊥ m , 垂足為 F. 求 BE ∶ MF 的值 . 類型 3 與圓有關(guān)的問題 圖 Z7 10 ① 圖 Z7 10 ② 圖 Z7 10 ③ 例 3 [2 0 1 7 綿陽改編 ] 已知拋物線 y= a x 2 + b x+c ( a ≠ 0 ) 的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 并且經(jīng)過點 (4 , 2 ) . (1 ) 求拋物線的解析式 . 類型 3 與圓有關(guān)的問題 【分層分析】 根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)為 ( 2 ,1), 可設(shè)拋物線為 y= a ( x 2) 2 + 1, 將點 (4 , 2 ) 代入可得 a 的值 . 解 : ( 1 ) 設(shè)拋物線的解析式為 y= a ( x h )2+k , 因為拋物線的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 所以 y= a ( x 2)2+ 1, 又拋物線經(jīng)過點 ( 4 ,2), 所以 2 =a (4 2)2+ 1, 解得 a=14, 所以拋物線的解析式是 y=14( x 2)2+ 1 =14x2 x+ 2 . 圖 Z7 10 ① 類型 3 與圓有關(guān)的問題 例 3 [2 0 1 7 綿陽改編 ] 已知拋物線 y= a x 2 + b x+c ( a ≠ 0 ) 的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 并且經(jīng)過點 (4 , 2 ) . (2 ) 直線 y=12x+ 1 不拋物線交于 B , D 兩點 , 求 B , D 兩點的坐標(biāo) . 【分層分析】 聯(lián)立拋物線和直線的解析式 , 得方程組 , 解方程組即可 . 解 : ( 2 ) 聯(lián)立兩凼數(shù)解析式得 ?? =14?? 2 ?? + 2 ,?? =12?? + 1 , 消去 y , 整理得 x 2 6 x+ 4 = 0, 解得 x 1 = 3 5 , x 2 = 3 + 5 , 代入直線的解析 式 , 解得 y 1 =52 52, y 2 =52+ 52, 所以 B 3 5 ,52 52, D 3 + 5 ,52+ 52. 圖 Z7 10 ① 類型 3 與圓有關(guān)的問題 例 3 [2 0 1 7 綿陽改編 ] 已知拋物線 y= a x 2 + b x+c ( a ≠ 0 ) 的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 并且經(jīng)過點 (4 , 2 ) . (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 求 BD 的長度 . 【分層分析】 構(gòu)造直角三角形 , 由勾股定理得出兩點間的距離公式 AB= ( ?? ?? ?? ?? ) 2 + ( ?? ?? ?? ?? ) 2 , 套公式求出 BD. 解 : ( 3 ) 利用兩點間距離公式 , 可算出 BD= ( ?? ?? ?? ?? ) 2 + ( ?? ?? ?? ?? ) 2 = 5 . 圖 Z7 10 ① 類型 3 與圓有關(guān)的問題 例 3 [2 0 1 7 綿陽改編 ] 已知拋物線 y= a x 2 + b x+c ( a ≠ 0 ) 的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 并且經(jīng)過點 (4 , 2 ) . (4 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 以 BD 為直徑作圓 , 圓心為點 C , 求證 : 圓 C 不 x 軸相切 . 【分層分析】 利用中點坐標(biāo)公式求出 C 點的縱坐標(biāo) , 得出點 C 到 x 軸的距離 , 進(jìn)而根據(jù)圓心到直線的距離 d 不圓的半徑 r 的大小關(guān)系判定 . 解 : ( 4 ) 證明 : 因為點 C 是 BD 的中點 , 所以點 C 的縱坐標(biāo)為 52 52 + 52+ 52 2=52, 因為半徑 r=?? ??2=52, 所以 圓心 C 到 x 軸的距離等于半徑 r , 所以圓 C 不 x 軸相切 . 圖 Z7 10 ② 類型 3 與圓有關(guān)的問題 例 3 [2 0 1 7 綿陽改編 ] 已知拋物線 y= a x2+ b x+c ( a ≠ 0 ) 的頂點坐標(biāo)是 ( 2 ,1), 并且經(jīng)過點 (4 , 2 ) . (5 ) 在 ( 4 ) 的條件下 , 圓 C 不直線 m 交于對稱軸右側(cè)的點 M ( t ,1) . 直線 m 上每一點的縱坐標(biāo)都等于 1 . 過點 B 作 BE ⊥ m , 垂足為 E , 再過點 D 作 DF ⊥ m , 垂足為 F. 求 BE ∶ MF 的值 . 【分層分析】 方法一 : 連接 BM 和 DM , 通過證明 △ BME ∽△ MDF , 得出?? ???? ??=?? ???? ??, 進(jìn)一步可得關(guān)于 t 的方程 , 解方程可得 t 的值 . 由t 值可求得 BE ∶ MF 的值 . 方法二 : 過點 C 作 CH ⊥ m 于 H , 連接 CM , 利用圓的性質(zhì)、線段間的關(guān)系、勾股定理等求得 CM , CH , MH , MF 的值 , 利用點 B , E 的坐標(biāo)求得 BE , 從而可得?? ???? ??的值 . 圖 Z7 10 ③ 類型 3 與圓有關(guān)的問題 解 : ( 5 ) 方法一 : 如圖 ① , 連接 BM 和 DM , 因為 BD 為直徑 , 所以 ∠ BMD= 9 0 176。 , 所以 ∠ BME+ ∠ DMF= 9 0 176。 ,