【正文】 4 3 時(shí) , S △ BC P 有最大值 , 則四邊形 ABPC 的面積最大 , 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為94, 58 3 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 3 [2 0 1 7 攀枝花改編 ] 如圖 Z8 10 ① , 拋物線 y = x2+ b x + c 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) , B 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3 , 0 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0 , 3 ) . (1 ) 求拋物線的解析式 , 并求 A 點(diǎn)的坐標(biāo) . 圖 Z8 10 ① 【分層分析】 把 B (3 ,0), C ( 0 , 3 ) 的坐標(biāo)代入拋物線解析式 y = x 2 + b x + c , 得關(guān)于 b , c 的方程組 , 求出 b , c , 得到解析式 , 令 y = 0, 即可求得點(diǎn) A 的坐標(biāo) . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 解 : ( 1 ) 由題意得 : 3 2 + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 , 解得 ?? = 4 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的解析式為 y=x 2 4 x+ 3 . 令 y= 0, 得 x 2 4 x+ 3 = 0, 解得 x 1 = 1, x 2 = 3, ∴ A (1 ,0) . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 3 [2 0 1 7 攀枝花改編 ] 如圖 Z8 10 ① , 拋物線 y = x2+ b x + c 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) , B 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3 , 0 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0 , 3 ) . (2 ) 點(diǎn) P 在 x 軸下方的拋物線上 , 過(guò)點(diǎn) P 的直線 y = x + m 不直線 B C 交于點(diǎn) E , 不 y 軸交于點(diǎn) F , 求證 : △ CF E 是等腰直角三角形 . 圖 Z8 10 ② 【分層分析】 求出 ∠ O C B 和 ∠ CF E 的度數(shù) , 即可證明 △ CF E 是等腰直角三角形 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 (2 ) 證明 : 由題意 O B = O C ,∴ ∠ O CB = 4 5 176。 , ∵ F , E 在直線 y=x+ m 上 ,∴ ∠ CF E = 4 5 176。 ,∠ CE F = 9 0 176。 , ∴ 在 △ CF E 中 ,∠ B CO = ∠ CF E = 4 5 176。 , ∴ △ CF E 為等腰直角三角形 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 3 [2 0 1 7 攀枝花改編 ] 如圖 Z8 10 ① , 拋物線 y = x2+ b x + c 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) , B 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3 , 0 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0 , 3 ) . (3 ) 在第 (2 ) 問(wèn)的條件下求 P E + EF 的最大值 . 圖 Z8 10 ③ 【分層分析】 方法 1 : ( 代數(shù)法 ) 過(guò) P 作 P G ∥ CF 交 C B 于點(diǎn) G , 易知 △ C F E 和 △ G P E 均為等腰直角三角形 , 設(shè) x P =t ,線段 EF , P E 的長(zhǎng)用含 t 的代數(shù)式表示 , 利用二次函數(shù)求最值 . 方法 2 : ( 幾何法 ) 以 B C 為對(duì)稱(chēng)軸將 △ F CE 對(duì)稱(chēng)得到 △ F 39。 CE , 作 P H ⊥ CF 39。 于 H , P E + EF = P F 39。= 2 P H = 2 ( y C y P ) = 2 (3 y P ), 當(dāng) y P 最小時(shí) , P E + E F 取最大值 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 (3 ) 方法 1( 代數(shù)法 ): 如圖 ① , 過(guò) P 作 PG ∥ CF 交 CB 于點(diǎn) G , ∵ △ CF E 為等腰直角三角形 , ∴ △ GPE 為等腰直角三角形 , 由題意易得 F ( 0 , m ), ∴ EF= 22CF = 22(3 m ), PE= 22PG , 由 B (3 ,0), C ( 0 , 3 ) 得直線 BC 的解析式為 y= x+ 3 . 設(shè) P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 t (1 t 3 ), 則 PE= 22PG= 22( t+ 3 t m ) = 22( m 2 t+ 3 ), ∵ t2 4 t+ 3 = t +m , ∴ m =t2 5 t+ 3 . ∴ P E +E F = 22( m 2 t+ 3) + 22(3 m ) = 22( 2 t 2 m+ 6) = 2 ( t +m 3) = 2 ( t2 4 t ) = 2 ( t 2)2+ 4 2 , ∴ 當(dāng) t= 2 時(shí) , P E +E F 取最大值 4 2 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 方法 2( 幾何法 ): ∵ △ CE F 為等腰直角三角形 , 以 BC 為對(duì)稱(chēng)軸將 △ F CE 對(duì)稱(chēng)得到 △ F 39。CE , 如圖 ② , 易得 CF 39?！?x 軸 , 作 PH ⊥ CF 39。于 H 點(diǎn) , 則 P E +E F = P F 39。= 2 PH. 又 P H =y C y P = 3 y P . ∴ 當(dāng) y P 最小時(shí) , P E + E F 取最大值 , ∵ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2 , 1 ), ∴ 當(dāng) y P = 1 時(shí) ,( P E +E F ) max = 2 (3 + 1) = 4 2 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 3 [2 0 1 7 攀枝花改編 ] 如圖 Z8 10 ① , 拋物線 y = x2+ b x + c 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) , B 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3 , 0 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0 , 3 ) . (4 ) 點(diǎn) D 為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn) . 當(dāng) △ B C D 是以 B C 為直角邊的直角三角形時(shí) , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) . 圖 Z8 10 ④ 【分層分析】 分類(lèi)討論 : 滿足條件的 D 點(diǎn)有兩個(gè) : D 在直線 B C 的上方不 D 在直線 B C 的下方 ,由勾股定理得到關(guān)于所求 D 點(diǎn)的縱坐標(biāo)的方程 , 即求出 D 1 和 D 2 的坐標(biāo) . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 (4 ) 由 ( 1 ) 知對(duì)稱(chēng)軸為直線 x= 2, 設(shè) D (2 , n ), 如圖 ③ . 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 上方 D 1 位置時(shí) , 由勾股定理得 C ??12+B C2=B ??12, 即 (2 0)2+ ( n 3)2+ (3 2 )2= (3 2)2+ (0 n )2, 解得 n= 5。 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 下方 D 2 位置時(shí) , 由勾股定理得 B ??22+B C2=C ??22, 即 (2 3)2+ ( n 0)2+ (3 2 )2= (2 0)2+ ( n 3)2, 解得 n= 1 . ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( 2 , 5 ) 或 ( 2 , 1) . ∴ 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形時(shí) , D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2 , 5 ) 或 ( 2 , 1) . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 3 [2 0 1 7 攀枝花改編 ] 如圖 Z8 10 ① , 拋物線 y = x2+ b x + c 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) , B 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 3 , 0 ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0 , 3 ) . (5 ) 點(diǎn) D 為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn) . 若 △ B C D 是銳角三角形 , 求點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 圖 Z8 10 ⑤ 【分層分析】 以 B C 為直徑作圓 , 則圓不對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn) ( 設(shè)為 D 3 , D 4 ) 不點(diǎn) B , C 構(gòu)成的三角形是直角三角形 , 由已 知條件求得 D 3 , D 4 的坐標(biāo) , 結(jié)合 (4 ), 求得點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的取值范圍 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 (5 ) 如圖 ④ , 以 BC 的中點(diǎn) T32,32為圓心 ,12BC 長(zhǎng)為半徑作 ☉ T , 不直線 x= 2 交于 D 3 和 D 4 兩點(diǎn) , 由直徑所對(duì)的圓周角是直角得 ∠ CD 3 B= ∠ CD 4 B= 9 0 176。 , 設(shè) D (2 , m ), 由 D T=12B C=3 22得 32 2 2+ 32 m 2= 3 22 2, 解得 m=3 177。 172, ∴ D 3 2 ,3 + 172 , D 4 2 ,3 172 , 又由 (4 ) 得 D 1 ( 2 ,5), D 2 (2 , 1 ), ∴ 若 △ B CD 是銳角三角形 , 則 D 點(diǎn)在線段 D 1 D 3 或 D 2 D 4 上 ( 丌不端點(diǎn)重合 ), ∴ 點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的取值范圍是 1 y D 3 172或3 + 172y D 5 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 針對(duì)訓(xùn)練 1 . [2 0 1 8 臨沂 ] 如圖 Z8 1 1 , 在平面直角坐標(biāo)系中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , OC = 2 O B , t a n ∠ AB C = 2, 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 1 ,0),拋物線 y = x2+ b x + c 經(jīng)過(guò) A , B 兩點(diǎn) . (1 ) 求拋物線的解析式 . (2 ) 點(diǎn) P 是直線 AB 上方拋物線上的一點(diǎn) . 過(guò)點(diǎn) P 作 P D 垂直 x 軸于點(diǎn) D , 交線 段 AB 于點(diǎn) E , 使 P E =12D E . ① 求點(diǎn) P 的坐標(biāo) . ② 在直線 P D 上是否存在點(diǎn) M , 使 △ AB M 為直角三角形 ? 若存在 , 求出符合條件 的所有點(diǎn) M 的坐標(biāo) 。 若丌存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z811 |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 解 : ( 1 ) 在 Rt △ ABC 中 , 由點(diǎn) B 的坐標(biāo)可知 OB= 1 . ∵ O C= 2 OB , ∴ O C= 2, C ( 2 ,0 ), 則 B C= 3 . 又 ∵ t a n ∠ A B C= 2, ∴ A C= 2 B C= 6, 則點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 2 ,6) . 把點(diǎn) A , B 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y= x2+ b x +c 中 , 得 1 + ?? + ?? = 0 , 4 2 ?? + ?? = 6 , 解得 : ?? = 3 ,?? = 4 . 故該拋物線的解析式為 y= x2 3 x+ 4 . |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 1 . [2 0 1 8 臨沂 ] 如圖 Z8 1 1 , 在平面直角坐標(biāo)系中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , OC = 2 O B , t a n ∠ AB C = 2, 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 1 ,0),拋物線 y = x2+ b x + c 經(jīng)過(guò) A , B 兩點(diǎn) . (2 ) 點(diǎn) P 是直線 AB 上方拋物線上的一點(diǎn) . 過(guò)點(diǎn) P 作 P D 垂直 x 軸于點(diǎn) D , 交線段 AB 于點(diǎn) E , 使 P E =12D E . ① 求點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 圖 Z811 |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 (2 ) ① 由點(diǎn) A ( 2 , 6 ) 和點(diǎn) B (1 ,0) 的坐標(biāo)求得直線 AB 的解析式為 y= 2 x+ 2 . 如圖 ① , 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( m , m2 3 m+ 4 ), 則點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ( m , 2 m+ 2 ), 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m ,0) . 則 PE= m2 m+ 2, DE= 2 m+ 2, 由 PE=12DE , 得 : m2 m+ 2 =12( 2 m+ 2 ), 解得 : m =177。 1 . 又 ∵ 2 m 1, ∴ m= 1, ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( 1 , 6 ) . ① |類(lèi)型 3| 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 1 . [2 0 1 8 臨沂 ] 如圖 Z8 1 1 , 在平面直角坐標(biāo)系中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , OC = 2 O B , t a n ∠ AB C = 2, 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 1 ,0),