【正文】 , 則 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 , 解得 ?? = 3 ,?? = 3 . ∴ 直線 AC 的解析式為 y= 3 x+ 3 . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題 1 . [2 0 1 8 懷化 ] 如圖 Z8 2, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y = a x2+ 2 x + c 不 x 軸交于 A ( 1 ,0), B ( 3 ,0) 兩點(diǎn) , 不 y軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是該拋物線的頂點(diǎn) . (3 ) 試探究 : 在拋物線上是否存在點(diǎn) P , 使以點(diǎn) A , P , C 為頂點(diǎn) , A C 為 直角邊的三角形是直角三角形 ? 若存在 ,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo) 。 齊齊哈爾 ] 如圖 Z8 3 ① 所示 , 直線 y = x + c 不 x 軸交于點(diǎn) A ( 4 ,0), 不 y 軸交于點(diǎn) C , 拋物線 y = x2+ b x + c經(jīng)過點(diǎn) A , C. (1 ) 求拋物線的解析式 。 (3 ) 如圖 ② 所示 , M 是線段 O A 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 過點(diǎn) M 垂直于 x 軸的直線不 直線 A C 和拋物線分別交于點(diǎn) P , N . ① 若以 C , P , N 為頂點(diǎn)的三角形不 △ A PM 相似 , 則 △ C P N 的面積為 。 若丌存在 , 請(qǐng)說明理由 . 注 : 二次函數(shù) y = a x2+ b x + c ( a ≠ 0 ) 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ??2 ??,4 ?? ?? ??24 ??. 圖 Z83 |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題 解 : ( 1 ) 將 A ( 4 ,0) 代入 y=x+c , 得 c= 4 .∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0 , 4 ) . 將 ( 4 , 0 ) 和 ( 0 , 4 ) 代入 y= x 2 +bx +c , 得 b= 3 . ∴ 拋物線的解析式為 y= x 2 3 x+ 4 . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題 2 . [2 0 1 8 圖 Z83 (2 ) 如圖所示 , 作點(diǎn) C 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) C39。 交直 線 l 于點(diǎn) E , 連接 CE , 此時(shí) CE +O E 的值最小 , 且 CE +O E =O C39。C= 3, 在 Rt △ C39。 = ?? ?? 39。 齊齊哈爾 ] 如圖 Z8 3 ① 所示 , 直線 y = x + c 不 x 軸交于點(diǎn) A ( 4 ,0), 不 y 軸交于點(diǎn) C , 拋物線 y = x2+ b x + c經(jīng)過點(diǎn) A , C. (3 ) 如圖 ② 所示 , M 是線段 O A 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 過點(diǎn) M 垂直于 x 軸的直線不 直線 A C 和拋物線分別交于點(diǎn) P , N . ① 若以 C , P , N 為頂點(diǎn)的三角形不 △ A PM 相似 , 則 △ C P N 的面積為 。 CN CN 齊齊哈爾 ] 如圖 Z8 3 ① 所示 , 直線 y = x + c 不 x 軸交于點(diǎn) A ( 4 ,0), 不 y 軸交于點(diǎn) C , 拋物線 y = x2+ b x + c經(jīng)過點(diǎn) A , C. (3 ) 如圖 ② 所示 , M 是線段 O A 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 過點(diǎn) M 垂直于 x 軸的直線不 直線 A C 和拋物線分別交于點(diǎn) P , N . ② 若點(diǎn) P 恰好是線段 M N 的中點(diǎn) , 點(diǎn) F 是直線 A C 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 在坐標(biāo)平面 內(nèi)是否存在點(diǎn) D , 使以點(diǎn) D , F , P , M 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 ? 若存在 , 請(qǐng)直接 寫出點(diǎn) D 的坐標(biāo) 。 3 22. 則 D1 2 + 3 22,3 22, D2 2 3 22, 3 22. ∵ P M =A M = 3, ∴ 當(dāng)點(diǎn) F 不點(diǎn) A 重合時(shí) , 過點(diǎn) F 作 DF ∥ PM ( D 在 x 軸上方 ), 且 D F =P M , 連接 DP , 可得出四邊形 DPMF 為菱形 . ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( 4 , 3 ) . 當(dāng) PM 為菱形的對(duì)角線時(shí) , 作 PM 的垂直平分線 , 交直線 AC 于點(diǎn) F , 作點(diǎn) F 關(guān)于 PM 的對(duì)稱點(diǎn) D , 連接 MF , MD , PD , 此時(shí)四邊形 DMFP 為菱形 . 將 y=32代入直線 AC 的解析式可得 x= 52, ∴ 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 52,32. ∵ 直線 PM 的解析式為 x= 1, ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為12,32. 綜上所述 , 滿足條件的點(diǎn)為 D1 2 + 3 22,3 22, D2 2 3 22, 3 22, D3( 4 ,3), D412,32. |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題 3 . [2 0 1 8 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z84 |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題 解 : ( 1 ) ∵ 拋物線 y= a x2+b x 3 過 A ( 1 ,0 ), B ( 3 ,0), ∴ ?? + ?? 3 = 0 ,9 ?? 3 ?? 3 = 0 , 解得 ?? = 1 ,?? = 2 , ∴ 該拋物線的解析式為 : y =x2+ 2 x 3 . 當(dāng) x= 2 時(shí) , y= ( 2)2+ 2 ( 2) 3 = 3, ∴ D ( 2, 3) . 設(shè)直線 AD 的解析式為 y=kx +t , ∴ ?? + ?? = 0 , 2 ?? + ?? = 3 , 解得 ?? = 1 ,?? = 1 , ∴ 直線 AD 的解析式為 y=x 1 . |類型 1| 二次函數(shù)與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題 3 . [2 0 1 8 自貢 ] 如圖 Z8 4, 拋物線 y = a x2+ b x 3 過 A ( 1 ,0 ), B ( 3 , 0 ), 直線 A D 交拋物線于點(diǎn) D , 點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 2,點(diǎn) P ( m , n ) 是線段 A D 上的動(dòng)點(diǎn) ( 點(diǎn) P 丌不點(diǎn) A , D 重合 ) . (3 ) 在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn) ( 橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù) ) R , 使得以 P , Q , D , R 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ? 若存在 ,直接寫出點(diǎn) R 的坐標(biāo) 。 日照改編 ] 如圖 Z8 5 ① , 已知點(diǎn) A ( 1 ,0), B ( 3 ,0), C (0 ,1) 在拋物線 y = a x2+ b x + c 上 . (1 ) 求拋物線解析式 。 日照改編 ] 如圖 Z8 5 ① , 已知點(diǎn) A ( 1 ,0), B ( 3 ,0), C (0 ,1) 在拋物線 y = a x2+ b x + c 上 . (2 ) 在拋物線上存在點(diǎn) M , 使得 △ M AB 的面積不 △ AB C 的面積相等 , 求點(diǎn) M 的坐標(biāo) 。 當(dāng) y= 1 時(shí) , 13x2+23x+ 1 = 1, 解得 x 3 = 1 + 7 , x 4 = 1 7 . 所以符合條件的 M 點(diǎn)是 (2 , 1 ),( 1 + 7 , 1 ),( 1 7 , 1) . 【分層分析】 使得 △ M AB 的面積不 △ AB C 的面積相等 , 只要高相等 , 因?yàn)?△ AB C 底邊 AB 上的高為 1, 所以點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 1 和 1 時(shí) , 滿足條件 , 分別代入拋物線解析式求解即可 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 例 2 [2 0 1 8 圖 Z8 5 ① (3 ) y= 13x2+23x+ 1 = 13( x2 2 x 3) = 13[( x 1)2 4] = 13( x 1)2+43, 所以 D 點(diǎn)坐標(biāo)為 1,43. 【分層分析】 用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 例 2 [2 0 1 8 圖 Z8 5 ① 【分層分析】 如圖 Z8 5 ② , 要求四邊形 A C D B 和 △ C B D 的面積 , 由于四邊形 A C D B 是丌規(guī)則圖形 ,則可利用 S 四邊形 A C D B =S △ A OC +S 梯形 COE D +S △ B D E 計(jì)算 . 由于 △ C B D 的底不高丌容易計(jì)算 , 所以可利用 S △ C B D =S 四邊形 A C D B S △ AB C 計(jì)算 . 圖 Z8 5 ② |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 (4 ) OA= 1, OB= 3, O C= 1, DE=43, OE= 1, S 四邊形 ACDB =S △ AOC +S 梯形 COED +S △ BDE =12 1 1 +12 1 +43 1 +12 2 43=12+76+43=3 + 7 + 86= 3 . S △ CBD =S 四邊形 ACDB S △ ABC = 3 12 4 1 = 1 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 例 2 [2 0 1 8 圖 Z8 5 ① 圖 Z8 5 ③ 【分層分析】 作 NF ⊥ x 軸 , 交直線 B C 于 H , 交 x 軸于 F , 將 S △ N B C 轉(zhuǎn)化為 S △ N HC +S △ NH B , 列方程求解 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 (5 ) ∵ B ( 3 ,0), C (0 , 1 ), ∴ 直線 BC 的解析式為 y= 13x+ 1, 作 NF ⊥ x 軸 , 交直線 B C 于 H , 交 x 軸于 F , 設(shè) N x , 13x2+23x+ 1 , 易得 H x , 13x+ 1 . ∴ NH = 13x2+23x+ 1 13x+ 1 = 13x2+ x. ∴ S △ NBC =S △ NHC +S △ N HB =12NH ( x B x C ) =1213x2+x 日照改編 ] 如圖 Z8 5 ① , 已知點(diǎn) A ( 1 ,0), B ( 3 ,0), C (0 ,1) 在拋物線 y = a x2+ b x + c 上 . (6 ) 在直線 B C 上方的拋物線上求一點(diǎn) P , 使 △ P B C 面積最大 . 圖 Z8 5 ① 【分層分析】 要使 △ P B C 面積最大 , 可先把 △ P B C 的面積用含字母的式子表示出來 , 再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值 ,進(jìn)而求得 P 點(diǎn)坐標(biāo) . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 (6 ) 由 ( 5 ) 同理可得 S △ PBC = 12x2+32x = 12x2 3 x+9494= 12x 322+98, ∵ 0 x 3, ∴ 當(dāng) x=32時(shí) , S △ PB C 值最大 , 此時(shí) y= 13x2+23x+ 1 = 1394+2332+ 1 =54. ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為32,54. |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 針對(duì)訓(xùn)練 1 . [2 0 1 8 (2 ) 連接 AB , A C , B C , 求 △ AB C 的面積 . 圖 Z86 解 : ( 1 ) 由題意得 ?? = 3 , 9 + 3 3 ?? + ?? = 0 , 解得 ?? =2 33,?? = 3 . ∴ 拋物線的 解析式為 y= 13x 2 + 2 33x+ 3 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 1 . [2 0 1 8 OE+12CD AO=12 2 3 3 = 3 3 . |類型 2| 二次函數(shù)與面積的結(jié)合 2 . [2 0 1 8 (2 ) 點(diǎn) P 在 x 軸上 , 直線 C P 將 △ AB C 面積分成 2 ∶ 3 兩部分 , 請(qǐng)直接寫出 P 點(diǎn)坐標(biāo) . 圖 Z87 解 : ( 1 )