抽屜原理的典型問(wèn)題-在線瀏覽
2025-05-12 02:31本頁(yè)面
【正文】 “如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋(píng)果就可以代表一個(gè)元素，假如有n+1或多于n+1個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素。奧數(shù)探秘：奧數(shù)之抽屜原理桌上有十個(gè)蘋(píng)果，要把這十個(gè)蘋(píng)果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋(píng)果。這一現(xiàn)象就是我們所說(shuō)的抽屜原理?！薄 ∫? 抽屜原理最常見(jiàn)的形式 原理1 把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體?！ 證明](反證法)：若每個(gè)抽屜至多放進(jìn)m個(gè)物體,那么n個(gè)抽屜至多放進(jìn)mn個(gè)物體,與題設(shè)不符，故不可能.原理1 2都是第一抽屜原理的表述第二抽屜原理： 把(mn1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有(m—1)個(gè)物體?！薄 皬臄?shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說(shuō)，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同. 上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問(wèn)題，不錯(cuò)，這正是抽屜原則的主要作用.(需要說(shuō)明的是，運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少.) (一) 整除問(wèn)題 把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類(lèi)，叫做m的剩余類(lèi)或同余類(lèi)，用[0]，[1]， [2]，…，[m1]，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究與整除有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以證明：任意n+1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。分析與解答在與整除有關(guān)的問(wèn)題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，本題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，、. 任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)?！ ⊥?，剩下的8個(gè)任意整數(shù)中，由例2，必存在：3 | a4+a5++a5+a6=b2。由于這兩個(gè)梯形的高相等，故它們的面積之比等于中位線長(zhǎng)的比，即|MH|:|NH| 。分析與解答首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設(shè)這三條線段(虛線)中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍(lán)色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。例3′(六人集會(huì)問(wèn)題)證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)。證明：至少有三個(gè)科學(xué)家通信時(shí)討論的是同一個(gè)問(wèn)題。設(shè)這6位科學(xué)家為B，C，D，E，F(xiàn)，G，討論的是甲問(wèn)題。否則他們6位只討論乙、丙兩問(wèn)題?！ ∪鬋，D，E中有兩人也討論乙問(wèn)題，則結(jié)論也就成立了?！ ±? 從…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34?，F(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理(因?yàn)槌閷现挥?個(gè))，這兩個(gè)數(shù)的和是34。 分析與解答在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：{20，8｝，{19，7｝，{186｝，{17，5｝，{16，4｝，{15，3｝，
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