【正文】 ................................................................. 17 致謝 ........................................................................................................................................................... 18 ii 抽屜原理的應(yīng)用與推廣 Xxxxxx 系本 xxxxx 班 xxxxxx 指導(dǎo)教師： xxxxxxx 摘 要 ： 本文簡述了抽屜原理普遍使用的簡單形式、各種推廣形式，著重簡述其在數(shù)論和高等數(shù)學(xué)及無限集中的應(yīng)用，及在生活中的應(yīng)用，可以巧妙地解決一些復(fù)雜問題，并根據(jù)抽屜原理的不足之處引入抽屜原理的推廣定理 Ramsey定理。 關(guān)鍵詞 ： 抽屜原理，有限集，無限集， Ramsey 定理。它是由德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷首先發(fā)現(xiàn)的，因此也叫狄利克雷原理。 2 抽屜原理的形式 什么是抽屜原理？舉個(gè)簡單的例子說明，就是將 3 個(gè)球放入 2個(gè)籃子里，無論怎么放，必有一個(gè)籃子中至少要放入 2 個(gè)球，這就是抽屜原理。 抽屜原理簡單直觀，很容易理解。 下面首先從抽屜原理的形式入手，然后研究它在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 除了這種普遍的形式外，抽屜原理還有其他形式的推廣、原理及形式。 推廣 2 設(shè) 12, nm m m 是 n 個(gè)整數(shù)，而且 12 1nm m m rn? ? ? ??,則12, nm m m 中至少有一個(gè)數(shù)不小于 r . 推廣 3 若將 m 個(gè)物品放入 n 個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子中有不少于 [nm ]個(gè)物品。 原理 1 把多于 mn (m 乘以 n )個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽2 屜里有 1?m 個(gè)或多于 1?m 個(gè)的物體。 原理 3 把 )1( ?mn 個(gè)物體放入 n 個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有)1( ?m 個(gè)物體。 原 理 6 設(shè) M 是不可數(shù)集， N 是有限集或可數(shù)集，對于任意從 M 到 N 的函數(shù) f ，用 MN 表示 f 的值域，則 MN 的各個(gè)元素的原象的集合中，必有一個(gè)是不可數(shù)集。 形式 1 1/ ?mn 個(gè)元素分為 n 個(gè)集合中，那么至少有一個(gè)集合中存在 1?m個(gè)元素。 3 抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 以上的幾種形式就是我們解題時(shí)常用到的抽屜原理的表示形式，接下來，在了解了抽屜原理的基本形式以及多位學(xué)者所發(fā)展的推廣形式的基礎(chǔ)上，我們通過一些比較典型的實(shí)例來說明抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中的數(shù)論、集合論、高等數(shù)學(xué)、不等式這四個(gè)方面的應(yīng)用。而抽屜原理的應(yīng)用是：如果有1?n 個(gè)正整數(shù) 121 , ?naaa ? 被 n 除，則必有兩個(gè) ( 設(shè)為 ij aa、 ) 對模 n 同余，即)(modnaa ji ? ，因此， n ｜ )( ji aa? . 例 1 證明 任意五個(gè)整數(shù)中，必有三個(gè)整數(shù)的和是 3 的倍數(shù)。 因此在任意五個(gè)整數(shù)中，必有三個(gè)整數(shù)的和是 3 的倍數(shù)。 分析與證明 為了證明這個(gè)結(jié)論考慮 n 個(gè)整數(shù) ,)1(,2, amnamama ???? ? 這些整數(shù)中的每一個(gè)除以 m 都余 a ，設(shè)其中的兩個(gè)除以 n 有相同的余數(shù) r ，令這兩個(gè)數(shù)為 aim? 和 ajm? ,其中 10 ???? nji , 因此 ,存在兩整數(shù) iq 和 jq ,使得 rnqaim i ??? 及 rnqajm i ??? ，這兩個(gè)方程相減可得 nqqmij ij )()( ??? . 4 于是 n 是 mij )( ? 的一個(gè)因子，由于 n 和 m 沒有除 1 之外的公因子，因此 n 是ij? 的因子，然而， 10 ???? nji 意味著 10 ???? nij ，也就是說 n 不可能是ij? 的因子，該矛盾產(chǎn)生于我們的假設(shè)： n 個(gè)整數(shù) amnamama ???? )1(,2, ?中有兩個(gè)除以 n 會(huì)有相同的余數(shù)。令 p 為整數(shù)，滿足 10 ??? np ，且使數(shù) apmx ?? 除以 n 余數(shù)為 b ，則對于某個(gè)適當(dāng)?shù)?q ，有 .bqnx ?? 因此， apmx ?? 且 bqnx ?? ，從而 x 具有所要求的性質(zhì)。 證明 假設(shè)存在一個(gè)各項(xiàng)不同且均能表示成 )(32 Nlklk ?? 、 的形式的 40 項(xiàng)等差數(shù)列。 則 nqmp ?? , . 接下來研究這個(gè)數(shù)列中最大的 14 項(xiàng) dadada 39,27,26 ??? ?. 首先證明 dadada 39,27,26 ??? ?中至 多 有一個(gè) 不能表示成 lm 32 ? 或)(32 Nlknk ?? 、 的形式。 若 2??nc ,則 21 3222 ?? ????? nmcbhda nm 391221 ???? ? ? ? ?)39(log)39(log32 391221 dada ?? ???? )39(91)39(21 dada ?????? )39(1811 da?? da 184291811 ?? da 26?? 與 ? ?dadadahda 39,27,26 ????? ?矛盾。 所以 , )39,27,26( ??? hhda 中至少有 13 個(gè)能表示成 lm 32 ? 或 )(32 Nlknk ?? 、 的形式。 6 （ 1） 有七個(gè)能表示成 lm 32 ? 的形式。 (2) 有七個(gè)能表示成 nk 32? 的形式。 而 dd kkkkk 13)22(132)22(2213 12217 15 ???????? ?,矛盾。 高等代數(shù)中的應(yīng)用 例 4 已知齊次線性方程組 11 1 12 2 12 221 1 22 2 22 21 1 2 2 2 2000nnnnn n n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 其中 ? ? ? ?1 , 0 , 1 1 , 2 , , , 1 , 2 , , 2ija i n j n? ? ? ?, 證明存在不全為零的整數(shù)nxxx 21 , 2 ? 適合 )2,2,1(2 njnxi ??? 證明 令 nnijaA 2)( ?? ，122nxxXx???????????????，nO???????????????000? 則該齊次線性方程組可寫成 0?AX 7 設(shè)集合 S={ njnxxxxX jn2,2,1,:221?? ????????????????? } D={?????????????????????????????njjnjnjjjjnjjxaxaxaAX21212211? :X?S} 映射 :SDX AXf ?? 是一個(gè)滿射 .顯然 S = nn 2)12( ? ,因?yàn)?ja1 ?{1， 0， 1}，所以對每個(gè) X?S，它的 2n 個(gè)分量適合 21 1 2 2 2 21ni j j i i i n n