【正文】 數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組。顯然，必須找出一種能把前25個(gè)自然數(shù)分成6（71=6）個(gè)集合的方法，不過分類時(shí)有一個(gè)限制條件：同一集合中任兩個(gè)數(shù)的比值在內(nèi)，故同一集合中元素的數(shù)值差不得過大。能與2同屬于一個(gè)集合的數(shù)只有3，于是{2，3}為一集合。（2）如果我們按照（1）中的遞推方法依次造“抽屜”，則第7個(gè)抽屜為{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；第8個(gè)抽屜為：{40，41，42，?，60}；第9個(gè)抽屜為：{61，62，63，?，90，91}；??那么我們可以將例3改造為如下一系列題目：（1）從前16個(gè)自然數(shù)中任取6個(gè)自然數(shù)；（2）從前39個(gè)自然數(shù)中任取8個(gè)自然數(shù)；（3）從前60個(gè)自然數(shù)中任取9個(gè)自然數(shù)；（4）從前91個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)自然數(shù)；?都可以得到同一個(gè)結(jié)論：其中存在2個(gè)數(shù)，它們相互的比值在]內(nèi)。如果我們改變區(qū)間[＞q）端點(diǎn)的值，則又可以構(gòu)造出一系列的新題目來。求證：這個(gè)集合必有兩個(gè)無公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等?？占c全集顯然不是考慮的對象，所以剩下10242=1022個(gè)非空真子集。用N來記這個(gè)和數(shù)，很明顯：10≤N≤91+92+93+94+95+96+97+98+99=855這表明N至多只有8559=846種不同的情況。若A∩B=φ，則命題得證，若A∩B=C≠φ，即A與B有公共元素，這時(shí)只要剔除A與B中的一切公有元素，得出兩個(gè)不相交的子集A1與B1，很顯然A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1與B1就是符合題目要求的子集。求證：這個(gè)集合必有兩個(gè)無公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。例5．在坐標(biāo)平面上任取五個(gè)整點(diǎn)（該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都取整數(shù)），證明：其中一定存在兩個(gè)整點(diǎn)，它們的連線中點(diǎn)仍是整點(diǎn)。都是整數(shù)，必須而且只須x1與x2，y1與y2的奇偶性相同。說明：我們可以把整點(diǎn)的概念推廣：如果（x1,x2,?xn）是n維（元）有序數(shù)組，且x1,x2,?xn中的每一個(gè)數(shù)都是整數(shù)，則稱（x1,x2,?xn）是一個(gè)n維整點(diǎn)（整點(diǎn)又稱格點(diǎn)）。這是對n維整點(diǎn)的一種分類方法。這就是1971年的美國普特南數(shù)學(xué)競賽題。分析：本題也似乎是茫無頭緒，無從下手，其關(guān)鍵何在？仔細(xì)審題，它們的“和”能“被100整除”應(yīng)是做文章的地方。討論這些“和數(shù)”被100除所得的余數(shù)。“蘋果”數(shù)與“抽屜”數(shù)一樣多，如何排除“故障”？證明：設(shè)已知的整數(shù)為a1,a2,?a100考察數(shù)列a1,a2,?a100的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列S1，S2，?S100。否則，即S1，S2，?S100均不能被100整除，這樣，它們被100除后余數(shù)必是{1，2，?，99}中的元素。不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)為Si，Sj（i＜j），則100∣（SjSi），即100∣。n3說明：有時(shí)候直接對所給對象作某種劃分，是很難構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷系?。本題直接對{an}進(jìn)行分類是很難奏效的。另外，對{Sn}按模100的剩余類劃分時(shí)，只能分成100個(gè)集合，而{Sn}只有100項(xiàng)，似乎不能應(yīng)用抽屜原則。這種處理問題的方法應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)，它會(huì)助你從“山窮水盡疑無路”時(shí)，走入“柳暗花明又一村”中。將以上一般結(jié)論中的n賦以相應(yīng)的年份的值如1999，2000，2001?，就可以編出相應(yīng)年份的試題來。請你證明：一定有若干只猴子（可以是一只），它們所吃的花生的粒數(shù)總和恰好是100的倍數(shù)。大家看到，抽屜原理的道理極其簡單，但“于無聲處聽驚雷”，恰當(dāng)?shù)鼐牡貞?yīng)用它，不僅可以解決國內(nèi)數(shù)學(xué)競賽中的問題，而且可以解決國際中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，例如IM0中的難題。例7．（第6屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題）17名科學(xué)家中每兩名科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們通信時(shí)，只討論三個(gè)題目，而且任意兩名科學(xué)家通信時(shí)只討論一個(gè)題目，證明：其中至少有三名科學(xué)家，他們相互通信時(shí)討論的是同一個(gè)題目。三名科學(xué)家研究同一個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為找到一個(gè)三邊同顏色的三角形。考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因?yàn)?=22+1，故必有3=2+1條線段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽1B2，B1B3，B1B4。說明：（1）本題源于一個(gè)古典問題世界上任意6個(gè)人中必有3人互相認(rèn)識(shí)，或互相不認(rèn)識(shí)。（2）將互相認(rèn)識(shí)用紅色表示，將互相不認(rèn)識(shí)用藍(lán)色表示，（1）將化為一個(gè)染色問題，成為一個(gè)圖論問題：空間六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，四點(diǎn)不共面，每兩點(diǎn)之間連線都涂上紅色或藍(lán)色。（3）問題（2）可以往兩個(gè)方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點(diǎn)數(shù)。如果繼續(xù)沿此方向前進(jìn)，可有下題：在66個(gè)科學(xué)家中，每個(gè)科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論四個(gè)題目，而任何兩個(gè)科學(xué)家之間僅僅討論一個(gè)題目。（4）回顧上面證明過程，對于17點(diǎn)染3色問題可歸結(jié)為6點(diǎn)染2色問題，又可歸結(jié)為3點(diǎn)染一色問題。從以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的過程，易發(fā)現(xiàn)6=（31）2+2，17=（61）3+2，66=（171）4+2，同理可得（661）5+2=327，（3271）6+2=1958?記為r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，?我們可以得到遞推關(guān)系式：rn=n(rn11)+2，n=2,3,4?這樣就可以構(gòu)造出327點(diǎn)染5色問題，1958點(diǎn)染6色問題，都必出現(xiàn)一個(gè)同色三角形。在例7的證明過程中，我們實(shí)際上用到了抽屜原理的其他形式，我們把它作為定理2。例8．在邊長為1的正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，求證：存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過（1963年北京市數(shù)學(xué)競賽題）。在正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，則至少有一個(gè)矩形Ai內(nèi)存在[]+1=3個(gè)或3個(gè)以上的點(diǎn)，設(shè)三點(diǎn)為A、B、C，具體考察Ai（如圖4），過A、B、C三點(diǎn)分別作矩形長邊的平行線，過A點(diǎn)的平行線交BC于A39。C+S△AA39。本題構(gòu)造“抽屜”的辦法不是唯一的，還可以將正方形等分成邊長為的四個(gè)小正方形等。所以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造“抽屜”，正是應(yīng)用抽屜原則解決問題的關(guān)鍵所在。（2）在邊長為1的正方形內(nèi)任意給出13個(gè)點(diǎn)。例9．9條直線的每一條都把一個(gè)正方形分成兩個(gè)梯形，而且它們的面積之比為2∶3。證明：設(shè)正方形為ABCD，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)。這樣的點(diǎn)在EF上還有一個(gè)，如圖上的Q點(diǎn)（FQ∶QE=2∶3）。這樣，在正方形內(nèi)就有4個(gè)固定的點(diǎn)，凡是把正方形面積分成兩個(gè)面積為2∶3的梯形的直線，一定通過這4點(diǎn)中的某一個(gè)。說明：本例中的抽屜比較隱蔽，正方形兩雙對邊中點(diǎn)連線上的4個(gè)三等分點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，而它的發(fā)現(xiàn)源于對梯形面積公式S梯形=中位線梯形的高的充分感悟。證明：不論怎樣排列，紅、藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一種：1．至少三行完全相同；2．至少有兩組（四行），每組的兩行完全相同。每行中的7個(gè)位置中的每個(gè)位置都有紅、藍(lán)兩種可能，因而總計(jì)共有27=128種不同的行式（當(dāng)且僅當(dāng)兩行墨水瓶顏色及次序完全相同時(shí)稱為“行式”相同）任取130行中的129行，依抽屜原理可知，必有兩行（記為A，B）“行式”相同。說明：本例構(gòu)造抽屜時(shí)用到了乘法原理，2222222=2=128個(gè)“行式”是制造和應(yīng)用抽屜原理的關(guān)鍵。例11．在坐標(biāo)平面上給出無限多個(gè)矩形，它們的頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)都具有如下形式：（0，0），（0，m），（n，0），（n，m）其中m，n是正整數(shù)，并且m＞3，n＜6，求證：在這些矩形中一定存在無限多個(gè)矩形，其中任意兩個(gè)矩形必有一個(gè)被包含在另一個(gè)之中。不妨設(shè)這一類矩形的n的取值為n。（五）抽屜原理的多次使用。例12．有蘋果、梨、桔子若干個(gè)，任意分成9堆，求證一定可以找到兩堆，其蘋果數(shù)、梨數(shù)、桔子數(shù)分別求和都是偶數(shù)。于是，就找到這樣的兩堆，它們的蘋果數(shù)、梨數(shù)，桔子數(shù)的奇偶性都分別相同，從而其和數(shù)分別都是偶數(shù)。對3類水果逐一找用了3次抽屜原理，若將過程合并簡化可將蘋果數(shù)、梨數(shù)、桔子數(shù)作為3錐坐標(biāo)（X，Y，Z），按其坐標(biāo)的奇偶性構(gòu)造8個(gè)抽屜：（奇，奇，奇），（奇，奇，偶），（奇，偶，奇），（偶，奇，奇），（奇，偶，偶），（偶，奇，偶），（偶，偶，奇），（偶，偶，偶），9堆當(dāng)中必有2堆屬于同一抽屜，其坐標(biāo)的奇偶性完全相同。證明：如圖7，作兩個(gè)半徑分別為1和1995的同心圓，在內(nèi)圓上任取9個(gè)點(diǎn)，必有5點(diǎn)同色，記為A1，A2，A3，A4，A5。說明：這里連續(xù)用了兩次抽屜原理（以染色作抽屜）。當(dāng)然，不用同心圓也可證得，如在平面上取任三點(diǎn)都不共線的9點(diǎn)，由抽屜原理必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E；以A為位似中心，以1995為位似比作ABCDE的位似形A39。C39。E39。,C39。,E39。D39。則即為所求。60176。的直角三角形三頂點(diǎn)同色：任取a∈R，以a為邊作等邊三角形，則必有兩點(diǎn)同色，記為A，B同紅色，以AB為直徑作一圓，再作圓內(nèi)接正六邊形AC1C2BC3C4（如圖9），當(dāng)Ci中有紅點(diǎn)時(shí)△ACiB即為所求；當(dāng)Ci中無紅點(diǎn)即Ci全為藍(lán)色時(shí)，Rt△C1C2C3即為所求。更進(jìn)一步還可得到：對任何a∈R，可得到兩個(gè)相似比為a的頂點(diǎn)同色的相似三角形。請讀者試證。2．任意給定7個(gè)整數(shù)，求證：其中必有兩個(gè)數(shù)，其和或差可被10整除。5．設(shè)a1,a2,?,an是n個(gè)自然數(shù)，證明：從這n個(gè)數(shù)中總可以選出若干個(gè)數(shù)，使它們的和是n的倍數(shù)。