范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用-畢業(yè)論-在線瀏覽
2024-07-31 13:51本頁面
【正文】 n nna a a aa a a aa a a a? ? ? ? 范德蒙行列式的性質(zhì) 利用行列式的性質(zhì)容易推得： ??1 若將范德蒙行列式 nD 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?90 ,可得 ? ? ? ? nnnnnnnnnnDaaaaaa2111111111111?????????????? ??2 若將范德蒙行列順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?90 ，可得 ? ? ? ? nnnnnnnnDaaaaaa2112121111111???????????? .. 3 ??3 若將范德蒙行列式 nD 旋轉(zhuǎn) ?180 ，可得 1 1 111111 1 1n n nnnnnna a aDa a a? ? ???? 3 范德蒙行列式的推廣 跳行范德蒙行列式 跳行范德蒙行列式為如下形式： 122 2 2121 1 1 1121 1 112121 1 1 1de tnnk k knk k knn n nna a aa a aVa a aa a aa a a? ? ?? ? ??， 為了計(jì)算該行列式，構(gòu)造多項(xiàng)式 ??fx如下： ? ?nnnnnkknkkkknkkkknkknnxaaaxaaaxaaaxaaaxaaaxaaaxf???????????????2111121121111211222221211111????????? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 1 1 1na a a a a a x a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?3 2 2 2nna a a a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 1n i jj i nx a x a x a a a??? ? ? ? ? ? ??. 該行列式中第 k 行、第 1n? 列元素 kx 的代數(shù)余子式為 ? ? ? ?111 , 1 1 1d e t 1 d e t 1 d e tk n k nknA V V? ? ? ??? ? ? ? ? ， 由 ??1 式可得 kx 的系數(shù)為 .. 4 ? ? ? ?1212 11 , 0 , 1 , 2 ,nknknk p p p i jp p p j i nx x x a a k n?????? ? ?? ?， 其中 1 2 3, , , , nkp p p p ?是 1,2,3, n 中 ? ?nk? 個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，12nkpp p??表示所有 nk? 階排 列的和。 特別的，當(dāng) kn? 并取1 1px ?時(shí)，即可得范德蒙行列式。,39。 定理 1： n 階合流范德蒙行列式 ? ?11 1 0 1d e t !ijj nnntijj k j i tV k a a?? ? ? ???? ? ?. 證明 : 設(shè) n 維向量 ? ?? ?1 2 , , , , 0 , , 0 1 , 2 , ,tTq q q q n n q ta a a a q n????滿足? ? ? ? ? ?111 2 , 1 jtt t nqtn n qtq q q q n n q t jja v x a a x a x x x?? ??? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ??比較上式（ 2）邊1tnn qx? ?? 的系數(shù)，可知 , 1tq n n qa ???，且或有 ? ? ? ? ? ?11 111jttkk t nqTq x i j xjdda v x x a xd x d x?? ??? ???? ???? ? ? ?????? （ 3） ? ? ? ?110 , 1 , 2 , , 1 。= 1 ! , i t k qttijji t k n i t k qq ????? ? ? ???? ? ? ? ??? ?或且， 構(gòu)造 n 階矩陣 ? ?? ?11, , , , ,tt Tn nn n nA e e a a??,其中 ??nie 是第 i 個(gè)分量為 其余分量為 0的 n 維列向量，則 A 是下三角矩陣。 例 1 計(jì)算 1 2 3 42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 411111 1 1 1x x x xDx x x x x x x xx x x x x x x x? ? ? ??? ? ? ????? 解：將 D 的第一行的 ? ?1? 倍加到第二行得： 1 2 3 42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 41111x x x xx x x x x x x xx x x x x x x x? ? ? ????? 再將上式得第二行的 ? ?1? 倍加到第三行得： .. 6 1 2 3 422221 2 3 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 41111x x x xxxxxx x x x x x x x???? 再將上式的第三行的 ? ?1? 倍加到第四行得： 1 2 3 422221 2 3 433331 2 3 41111x x x xxxxxxxxx 即為范德蒙行列式。 所以 nnD x D? ，再作 t 元實(shí) n 次方程： 121 2 1 0n n nnnt x t x t x t x???? ? ? ? ? ? ??2 由 ??1 知 12,na a a 為方程 ??2 的 n 個(gè)不同的根，由根與系數(shù)可知： 12nnx a a a? ? ? ? 所以 ? ? ? ?12 1n n n i jj i nD x D a a a a a??? ? ? ? ? ??. 范德蒙行列式在微積分中的應(yīng)用 例 3 ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù)，在 ? ?,ab 內(nèi)存在 2 階導(dǎo)數(shù)，證明： a x b 上有? ? ? ? ? ? ? ?? ?39。12f x f a f b f ax a b a fcxb?????，這里 ? ?,c ab? 。39。 因 ? ? ? ? ? ? 0F a F x F b? ? ?， 故有中值定理 ，存在 12a x x x b? ? ? ?，使 ? ? ? ?1239。 0F x F x??，故再運(yùn)用一次中值定理，存在 ? ?12,c x x? ，使 ? ?39。 0Fc? ，即 ? ?? ?? ?? ?? ?39。239。220 0 2111fca a f aFcx x f xb b f b? =0 展開行列式即得： .. 8 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2f x f a f b f ax a b a fcxb????? 特別的，取2abx ??，則有相應(yīng)的 ? ?39。39。 ??? nfff ?，若 121 , ?nccc 為一組兩兩互異的實(shí)數(shù)，證明，存在唯一的一組實(shí)數(shù) 121 , ?n??? ? ，使得當(dāng) 0?h 時(shí)， ? ? ? ?011 fhcf ini i ???? ?是 nh 高階的無窮小。則 ????????????????????????????????0001112211121222121112211121nnnnnnnnnnccccccccc?????????????????， 這是以 121 , ?n??? ? 為未知數(shù)的線性方程組，其系數(shù)行列式為： .. 9 ? ????????????1112121
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