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抽屜原理的典型問題-全文預(yù)覽

2025-04-15 02:31 上一頁面

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【正文】 k  形式四:證明:設(shè)把q1+q2+…+qnn+1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1,A2,…,An,用 a1,a2,…,an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù),需要證明至少存在某個(gè)i,使得ai大于或等于qi。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式?! ≡谟行﹩栴}中,“抽屜”和“物體”不是很明顯的,需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的,一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題,另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。  例4:某校校慶,來了n位校友,在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。  另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù){9},{10},{11},{12},共制成12個(gè)抽屜(每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜).只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜,那么它們的差就等于12,根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù),即可辦到(取12個(gè)數(shù):從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)(例如取1,2,3,…,12),那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12)。  分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜:  凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的,都具有一個(gè)共同的特點(diǎn):這兩個(gè)數(shù)的和是34。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題,不妨設(shè)這三位是C,D,E,且討論的是乙問題。 解:不妨設(shè)A是某科學(xué)家,他與其余16位討論僅三個(gè)問題,由鴿籠原理知,他至少與其中的6位討論同一問題。因而無論怎樣著色,在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形。于是點(diǎn)H有確定的位置(它在正方形一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線上,且|MH|:|NH|=2:3). 由幾何上的對(duì)稱性,這種點(diǎn)共有四個(gè)(即圖中的H、J、I、K).已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、 J、I、K看成四個(gè)抽屜,九條直線當(dāng)成9個(gè)物體,即可得出必定有3條分割線經(jīng)過同一點(diǎn).  (三)染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆(每面只涂一種色),證明正方體一定有三個(gè)面顏色相同.  證明:把兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜,把正方體六個(gè)面當(dāng)作物體,那么6=22+2,根據(jù)原理二,至少有三個(gè)面涂上相同的顏色.  例2 有5個(gè)小朋友,這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。 例2:對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù),證明其中必有3個(gè)數(shù)的和能被3整除.  證明∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0,1,2,不妨分別構(gòu)造為3個(gè)抽屜:  [0],[1],[2]  ①若這五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中(即抽屜中分別為含有余數(shù)為0,1,2的數(shù)),我們從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè)(如1~5中取3,4,5),其和(3+4+5=12)必能被3整除.?、谌暨@5個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中,則其中必有一個(gè)抽屜,包含有3個(gè)余數(shù)(抽屜原理),而這三個(gè)余數(shù)之和或?yàn)?,或?yàn)?,或?yàn)?,故所對(duì)應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和是3的倍數(shù).  ③若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的一個(gè)抽屜中,很顯然,必有3個(gè)自然數(shù)之和能被3整除.  例2′:對(duì)于任意的11個(gè)整數(shù),證明其中一定有6個(gè)數(shù),它們的和能被6整除.  證明:設(shè)這11個(gè)整數(shù)為:a1,a2,a3……a11 又6=23  ①先考慮被3整除的情形  由例2知,在11個(gè)任意整數(shù)中,必存在:  3|a1+a2+a3,不妨設(shè)a1+a2+a3=b1?!薄 ±?:幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具,每個(gè)小朋友任意選擇兩件,那么不管怎樣挑選,在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同,試說明道理.  解:從三種玩具中挑選兩件,搭配方式只能是下面六種:
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