抽屜原理的典型問題(存儲(chǔ)版)
【正文】 理叫做抽屜原理。 例題1：：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同. 解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同. 例題2：任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被3整除. 證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r0，r1，：1176。抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。 分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，看成10個(gè)抽屜(顯然，它們具有上述性質(zhì))： {1，2，4，8，16｝，{3，6，12｝，{5，10，20｝，{7，14｝，{9，18｝，{11｝，{13｝，{15｝，{17｝，{19｝。否則，他們間只討論丙問題，這樣結(jié)論也成立?！崩?”：17個(gè)科學(xué)家中每個(gè)人與其余16個(gè)人通信，他們通信所討論的僅有三個(gè)問題，而任兩個(gè)科學(xué)家之間通信討論的是同一個(gè)問題?！ ⊥?，其余的5個(gè)任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3 ?、谠倏紤]bbb3被2整除. 依據(jù)抽屜原理，bbb3這三個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)是同奇或同偶，這兩個(gè)同奇(或同偶)|b1+b2 則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11個(gè)整數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)的和是6的倍數(shù). 例3： 任意給定7個(gè)不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個(gè)整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù). 分析：注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個(gè)位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個(gè)抽屜，標(biāo)以 [0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個(gè)自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]， [9]四個(gè)抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).(二)面積問題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn).證明：如圖，設(shè)直線EF將正方形分成兩個(gè)梯形，作中位線MN。 [證明](反證法)：若每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體，則總共至少有mn個(gè)物體，與題設(shè)矛盾，故不可能 例1：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同. 解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理1可以得知：至少有兩人的生日相同. 又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同. “從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同. 上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯(cuò)，這正是抽屜原則的主要作用.(需要說明的是，運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少.) (一) 整除問題 把所有整數(shù)按照
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