【正文】 號(hào)至多有5種，因此其中至少有兩只的號(hào)碼相同。1958年6/7月號(hào)的《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上有這樣一道題目：“證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)。這些結(jié)論構(gòu)成了組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容拉姆塞理論?，F(xiàn)行的小學(xué)課本中只編排了抽屜原理2的教學(xué)。三、理解抽屜原理要注意幾點(diǎn)（1）抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無(wú)妨。這類問(wèn)題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。（3）反證法假設(shè)每個(gè)文具盒放進(jìn)的鉛筆枝數(shù)都少于2枝，那么最多只能放3枝鉛筆，而把4枝鉛筆放在3個(gè)文具盒里，所以假設(shè)不成立。體驗(yàn)語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)要讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)練、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)思維的過(guò)程和結(jié)果。為什么？解答：假設(shè)每個(gè)鴿舍只飛進(jìn)2只鴿子，最飛進(jìn)6只鴿子。六年級(jí)里一定有兩人的生日是同一天。（四）練習(xí)十二習(xí)題解答從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張氏同花色的。5=8……1任意3個(gè)不同的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)。說(shuō)出其中的奧秘。8=13……4根據(jù)原則2,至少有三個(gè)相鄰的數(shù)的和不小于13。如果誰(shuí)借哪種類型的書(shū)，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書(shū)的類型相同。解：因?yàn)槿我夥殖伤慕M，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有42＋1＝9（人）；因?yàn)槿我?0人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋(píng)果和梨的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，那么這兩堆水果中，蘋(píng)果和梨的奇偶性必須相同。④11,12,13,14,15,16。15．某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會(huì)有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析與解：將40名小朋友看成40個(gè)抽屜。17．六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋(píng)果和梨、蘋(píng)果和桃、蘋(píng)果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個(gè)學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語(yǔ)文和數(shù)學(xué)、語(yǔ)文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。解：以一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)0、2構(gòu)造抽屜，共有3個(gè)抽屜?？梢?jiàn)，如何構(gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問(wèn)題的關(guān)鍵。我們要重點(diǎn)理解什么叫至少？就是其中必有一個(gè)抽屜必須滿足的最低條件。模仿練習(xí)2（1）有27個(gè)五年級(jí)學(xué)生，他們都是1 1歲，至少有多少個(gè)學(xué)生在同一個(gè)月里過(guò)生日?（2）四(3)班有50名學(xué)生，其中年齡最大的11歲，最小的l0歲，那么這個(gè)班至少有幾名學(xué)生是同年同月出生的?例題3：有40輛客車，各種客車座位數(shù)不同，最少的有26座，最多的有44座，這些客車中至少有多少輛車的座位是相同的?思維點(diǎn)撥：已知汽車的座位最少的有26座，最多的有44座，共有44—26+l=19(種)不同座位數(shù)的汽車。模仿練習(xí)5：1，箱子里裝著6個(gè)蘋(píng)果和8個(gè)梨，要保證一次能拿出兩個(gè)同樣的水果，至少要拿出多少個(gè)水果？2，書(shū)箱里混裝著3本故事書(shū)和5本科技書(shū)，要保證一次能拿出兩本同樣的書(shū)，至少要拿出多少本書(shū)？【鞏固與提高】A級(jí)有人說(shuō)：“把7個(gè)蘋(píng)果，隨意放在3個(gè)抽屜里，一定能找到一個(gè)抽屜里有3個(gè)或3個(gè)以上的蘋(píng)果。如果每次拿3個(gè)球會(huì)有四種情況：（1）一個(gè)白球，兩個(gè)紅球；（2）一個(gè)紅球，兩個(gè)白球；（3）三個(gè)白球；（4）三個(gè)紅球。有25個(gè)蘋(píng)果，放進(jìn)12個(gè)抽屜：25247。，現(xiàn)在有課外書(shū)125本。我們知道。，必可找出3個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和能被3整除。19．學(xué)校開(kāi)辦了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有42＋1=9（件）物品。只要有兩個(gè)數(shù)是取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于7。②4,5,6。解析：由題意，不帶蘋(píng)果的乘客不多于一名，但又確實(shí)有不帶蘋(píng)果的乘客，所以不帶蘋(píng)果的乘客恰有一名，所以帶蘋(píng)果的就有46人。9 ＝5……5由抽屜原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他們所拿的球類是完全一致的。證明：若學(xué)生只借一本書(shū)，則不同的類型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種，若學(xué)生借兩本不同類型的書(shū)，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。在這個(gè)圈上，一定有3個(gè)相鄰數(shù)的和大于13。如果讓你閉上眼睛，每次最少拿出幾根才能保證一定有兩根向同色的小棒？保證有2對(duì)同色的小棒呢？解答：（同上面的做一做，答案略）任意給出5個(gè)非零的自然數(shù)。張叔叔至少有1鏢不低于9環(huán)。4種顏色就是4個(gè)抽屜。注意突出對(duì)“至少”的理解（）247。溝通例1例2。剩下的1只鴿子還要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。剩下的1枝還要放進(jìn)1個(gè)文具盒。簡(jiǎn)單運(yùn)用。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^(guò)生日。第三步：運(yùn)用原理。原理2：np＋1(n、p∈N*)分成n個(gè)集合，則至少有一個(gè)集合中含有至少p＋1個(gè)元素。不論哪種情形發(fā)生，都符合問(wèn)題的結(jié)論?！背閷显淼膬?nèi)容簡(jiǎn)明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要的作用。這相當(dāng)于把367個(gè)東西放入 366個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。.某一類至少包含三個(gè)數(shù)；２176。形式二：設(shè)把n?m＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于m＋1。分析與解答 共有n位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是0次，即這個(gè)人與其他校友都沒(méi)有握過(guò)手；最多有n1次，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n2次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n1次，、…、n2，還是后一種狀態(tài)…、n1，到會(huì)的n個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，則這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多。現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），這兩個(gè)數(shù)的和是34。設(shè)這6位科學(xué)家為B，C，D，E，F(xiàn)，G，討論的是甲問(wèn)題。分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說(shuō)，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，“存在”、“總有”、“至少有”的問(wèn)題，不錯(cuò)，這正是抽屜原則的主要作用.（需要說(shuō)明的是，運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少.）抽屜原理雖然簡(jiǎn)單，但應(yīng)用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問(wèn)題，其中有些問(wèn)題還具有相當(dāng)?shù)碾y度。一． 抽屜原理最常見(jiàn)的形式原理1 把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。要保證有4人取出的球的顏色完全相同，至少應(yīng)有多少人取球？，賽得最多的球隊(duì)至少賽了幾場(chǎng)？答案與提示練習(xí)。例5學(xué)校開(kāi)辦了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有42＋1=9（件）物品。不難看出，當(dāng)m＝1時(shí)，抽屜原理2就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。說(shuō)明這一原理是不難的。樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂樂(lè)樂(lè)課堂她就是居里夫人。不管周圍怎么吵鬧，都分散不了她的注意力。然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n2次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n1次，、?、n2，還是后一種狀態(tài)?、n1，到會(huì)的n個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，則這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多。例6 從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，?，[m1]，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，?.在研究與整除有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以證明：任意n+1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。如果把蘋(píng)果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié)論，“原理”，利用它可以解決一些表面看來(lái)似乎很難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。三 例題講解例1 有5個(gè)小朋友，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。例7 證明：在任取的5個(gè)自然數(shù)中，必有3個(gè)數(shù)，它們的和是3的倍數(shù)。（即每個(gè)人都要和其他任何人比賽一次），證明：在比賽中的任何時(shí)候統(tǒng)計(jì)每人已經(jīng)賽過(guò)的場(chǎng)次都至少有兩位小棋手比賽過(guò)相同的場(chǎng)次。姐姐和同學(xué)想試探她一下。練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：選擇題 答案：C 2．把30個(gè)金幣發(fā)給7個(gè)人，下面說(shuō)法正確的是__________．．．． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：選擇題 答案：D 6．把13個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)4個(gè)抽屜，一定有一個(gè)抽屜里至少有__________個(gè)蘋(píng)果． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：選擇題 答案：D 10．任意25個(gè)人中，至少有__________個(gè)人屬于同一個(gè)生肖． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：18 14．袋子里有紅色的球3個(gè)，黃色的球5個(gè)，藍(lán)色的球6個(gè)，綠色的球8個(gè)，那么一次至少拿_______個(gè)球，才能保證一定有藍(lán)色的球． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：中等 類型：填空題 答案：7 18．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個(gè)，牛肉味的8個(gè)，辣椒味的6個(gè)．那么至少吃________個(gè)餃子，才能保證一定能吃到4個(gè)口味一樣的餃子． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：中等 類型：填空題 答案：17 22．一個(gè)袋子里有1只紅襪子、3只黑襪子、5只白襪子和8只綠襪子．那么一次至少摸出_______只襪子，才能保證一定有顏色一樣的3只襪子． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：11 26．袋子里有紅色的球6個(gè)，黑色的球7個(gè)，黃色的球10個(gè)，綠色的球8個(gè)，那么一次至少拿_______個(gè)球，才能保證取出的球至少有三種顏色． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：25 30．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各20根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會(huì)有白色和紅色的粉筆． 來(lái)源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：31 34．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有2張． 來(lái)源：2015道理很簡(jiǎn)單。這說(shuō)明一開(kāi)始的假定不能成立。今有玩具122件，122=340＋2。問(wèn)：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。共有1＋3＋3＝7（種）情況。（41）=43……1。這一現(xiàn)象就是我們所說(shuō)的抽屜原理。[證明]（反證法）：若每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體，則總共至少有mn個(gè)物體，與題設(shè)矛盾，故不可能二．應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要的作用。例1 證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。因而無(wú)論怎樣著色，在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問(wèn)題，不妨設(shè)這三位是C，D，E，且討論的是乙問(wèn)題。另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）。抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來(lái)并用以證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也稱為狄利克雷原則。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有ai＜[n/k]，于是有：a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝nk個(gè)[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 這與題設(shè)相矛盾?！薄皬臄?shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)