【正文】 ???????2 2ppa b r a b ra c b d? ?????解得 1 2ppc r b c r ba c b d? ?????（ 7） （ 8） 77 11ppc r b a b rdd????? ? ? ?w r 1將（ 7）和（ 8）代入（ 4）得到，給定收益條件下的最優(yōu)權(quán)重向量為 （ 9） 其中， 1Tb ??1r1Ta ??rr1Tc ??11 2d ac b?78 最小方差集的幾何特征 性質(zhì)（ 1）：最小方差集是均方平面上的雙曲線 111211 [ ]1 [ ]1pppnppc r b a brddc r ba brdc b rbad???????? ? ? ?????? ??????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?w r 1r1r1證明：由于 79 1211c b c b a bb a b a b cd a c b???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?根據(jù)線性代數(shù)的性質(zhì)有 不妨令 1 11 1 1 [ ] [ ]TTTTTabbc???????? ? ????? ???? ??r r r 1d r 1 r 1r 1 1 1=2d ac b?d注 意 與 區(qū) 別80 11[]1pr?? ????????w r 1 d2 Tp? ??ww這樣，由（ 9）得到的最優(yōu)權(quán)重向量改寫為 在得到最優(yōu)權(quán)重的基礎(chǔ)上，最小方差為 1 1 1 1{ [ 1 ] [ ] } { [ ] }1pTprr ? ? ? ? ??? ? ? ?????d r 1 r 1 d1= [ 1 ] 1pprr ???????d1 1 1[ 1 ] [ ] [ ]1pTprr ? ? ? ???? ????d r 1 r 1 d（ 10） 81 121 cbcaa c b???? ???? ??d由于 （ 11） 21222 [ 1 ]12 1 ( 2 )Tpppppppwwrra br c rc r br aac b d?????????????? ? ? ??d所以 82 ? 這是均方二維空間中的雙曲線，不妨稱為最小方差曲線（ min variance curve）。 68 prp?s p G A B H ? 最小風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn) G ? 有效前沿： GS ? GS上的任意點(diǎn)都滿足均方準(zhǔn)則 ? 非有效組合： GS線右下方的所有區(qū)域 69 總 結(jié) ? 兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的可行集 ? 完全正相關(guān)是一條直線 ? 完全負(fù)相關(guān)是兩條直線 ? 完全不相關(guān)是一條拋物線 ? 其他情況是界于上述情況的曲線 ? 兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效集：左上方的線 ? 多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界 ? 可行集：月牙型的區(qū)域 ? 有效集：最小風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)以上的左上方曲線 70 馬科維茨模型 （ n項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效前沿） 假定 1：市場上存在 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，令 Tnw ),( 21 ??代表投資到這 n種資產(chǎn)上的財(cái)富的相對份額，則有： 11???niiw且賣空不受限制，即允許 0iw ?2. 也是一個(gè) n維列向量，它表示每一種資產(chǎn)的期望收益率，則組合的期望收益 12( , , , ) Tnr r r?r2?n71 Tpr ? wr 表示資產(chǎn)之間的方差協(xié)方差，有 11 12 121 22 212nnn n nn? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ?????0?注：方差協(xié)方差矩陣是正定、 非奇異矩陣 。 ? 由所有有效組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。 n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合二維表示 prp?67 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效集 ? 均方準(zhǔn)則：在可行集中，有些投資組合會(huì)明顯地優(yōu)于另一些投資組合，其特點(diǎn)是 ? 給定風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率最大； ? 給定收益，風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）最小。 65 3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合二維表示 ? 一般地，當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增加時(shí)，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負(fù)）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。 隨 著 的 增 大 ， 彎 曲 程 度 增 加當(dāng) 時(shí) ， 彎 曲 度 最 小 ， 為 一 條 直 線當(dāng) 時(shí) ， 彎 曲 度 最 大 呈 現(xiàn) 折 線 狀 （ ） 當(dāng) ， 就 介 于 直 線 和 折 線 之 間 ， 成 為 平 滑 的 曲 線 ， 而 且 越 大 越 彎 曲 。 證明： 21122p 1 1 1 1 2 11222121 2 1 21 2 1 2221 2 1 21( ) ( 1 )( ) ( 1 ) pppppppww w w wr r rr r r rr??????? ? ???? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ?????? ? ???情 形 ：61 21121 1 2 1 11 2 1 2221 2 1 22( ) ( 1 )( ) pp p pww w wr r r rrr???? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ???情 形 ： ， 同 理 可 證122212rr r???? ??22( , )r ?11( , )r ?prp?62 兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合的可行集 1 1 1 1 22 2 2 21 1 1 1 2 1 1 1 2 122 2 2 21 1 1 1 21( ) ( 1 )( ) ( 1 ) 2 ( 1 )0( ) ( 1 )1pppr w w r w rw w w w ww w w?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ???? ? ?當(dāng) 1 時(shí)＋＝尤 其 當(dāng) ＝ 時(shí)＝這 是 一 條 二 次 曲 線 ，事 實(shí) 上 ， 當(dāng) 1 時(shí) ， 可 行 集 都 是 二 次 曲 線 。 ? 證明： 121 1 1 1 21 2 1 21 1 1 222121 2 1 21 2 1 2221 2 1 21( ) ( 1 )( ) / ( )( ) ( 1 ) ( 1 ) pppp p ppppw w wwr r w r w rrrr r r rr?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?????? ? ???－－ －58 若不允許賣空（ W≥ 0 ），當(dāng)權(quán)重 w1從 1減少到 0時(shí)可以得到一條直線段，即為完全正相關(guān)的兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可行集。 56 兩種 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 構(gòu)成的組合 ? 若已知兩種資產(chǎn)的期望收益、方差和它們之間的相關(guān)系數(shù)，隨著投資權(quán)重 w的變化，就構(gòu)成了可行集。 ? 有效組合（ Efficient portfolio ）： 給定風(fēng)險(xiǎn)水平下的具有最高收益的組合， 給定收益水平下具有最小風(fēng)險(xiǎn)的組合。 55 組合的可行集和有效集 ? 可行集與有效集 ? 資產(chǎn)組合的機(jī)會(huì)集合（ Portfolio opportunity set），又稱可行集，即在資金約束下，可構(gòu)造出的所有組合的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)（方差或標(biāo)準(zhǔn)差）。 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在金融工程中具有核心的地位。 ? 根據(jù)均方準(zhǔn)則，若均值不變，而方差減少，或者方差不變，但均值增加，則投資者獲得更高的效用，也就是偏向西北（左上方）的無差異曲線。 51 風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的無差異曲線（Indifference Curves） Expected Return Standard Deviation Increasing Utility P 2 4 3 1 52 ? 從風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資來看，收益帶給他正的效用，而風(fēng)險(xiǎn)帶給他負(fù)的效用，或者理解為一種負(fù)效用的商品。 2 占優(yōu)于 3。 （ 4）有效組合：在資金約束下，投資者希望持有具有最高的均方標(biāo)準(zhǔn)的組合。 48 資產(chǎn)組合理論 ? 基本假設(shè) （ 1）均方準(zhǔn)則：投資者僅僅以期望收益率和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來評價(jià)資產(chǎn)組合（ Portfolio） （ 2）投資者理性：投資者是不知足的和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。 ? 只要組合中的資產(chǎn)兩兩不完全正相關(guān)，則組合的風(fēng)險(xiǎn)就可以得到降低。設(shè)若投資一種股票，其期望收益為 r，方差為σ2，且這些股票之間 兩兩不相關(guān) ，求組合的收益與方差。 222222 2 2 22 2 2 2{[ ( ) ( ) ] } {[ ( ( ) ) ( ( ) ) ] } [ ( ( ) ) ] [ ( ( ) ) ] 2 {[ ( ) ] [ ( ) ] } 2 21,2)xyx y x y x y x y x yxyx y x y x y x y x y x y x yE x y E x yE x E x y E yE x E x E y E y E x E x y E y?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?由 于 相 關(guān) 系 數(shù) 1 則（組合的風(fēng)險(xiǎn)變小 45 例 題 ? 例 1：假設(shè)兩個(gè)資產(chǎn)收益率的均值為 ， ，其標(biāo)準(zhǔn)差為 ，占組合的投資比例分別是 ，兩個(gè)資產(chǎn)協(xié)方差為 ，則組合收益的期望值的方差為 22T20 .12( 0 .25 , 0 .75 ) 0 .14250 .150 .25( 0 .20) w w= ( 0 .25 , 0 .75 ) 0 .0244 750 . ( 0 .18)ppr???? ? ??????? ??? ? ??? ??????Twr46 22 T 2 2 222211w r ( , ..., )1... 0111w w ( , ..., ) ( , ..., )011Tpprrrnnrnnnnnn?? ? ? ???????? ? ?????????????????? ? ? ??????????????= ＝ 例 2：假設(shè)某組合包含 n種股票。 ?當(dāng)計(jì)算短期回報(bào)時(shí)，由于回報(bào)率小，兩種回報(bào)可以近似認(rèn)為是相等的。 組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)（截面歸并） , ( 1 , 2 , .. ., )iar i n??若某資產(chǎn)組合（ Portfolio）中第 i種資產(chǎn)的算術(shù)回報(bào)是 ，則有組合算術(shù)回報(bào)為 , , 111,11, 11 , 1nni i t i i t nniip a i i a iniii i tiw s w sr w r wws??????? ? ???????其中， wi為組合的投資權(quán)重（ 注意是截面意義上的，或是時(shí)點(diǎn)意義上的 ） 38 ? 對數(shù)回報(bào)不僅具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，便于 時(shí)間歸并 ，缺點(diǎn)是不能進(jìn)行 截面歸并 。 經(jīng)濟(jì)狀況 S 概率 期末價(jià)格 收益率 繁榮 140 44% 正常增長 110 14% 蕭條 80 16% 2 2 22 44% 14% ( 16% ) 14% ( 44% 14% ) ( 1