【正文】 b rdd????? ? ? ?w r 1將（ 7）和（ 8）代入（ 4）得到，給定收益條件下的最優(yōu)權(quán)重向量為 （ 9） 其中， 1Tb ??1r1Ta ??rr1Tc ??11 2d ac b?78 最小方差集的幾何特征 性質(zhì)（ 1）：最小方差集是均方平面上的雙曲線 111211 [ ]1 [ ]1pppnppc r b a brddc r ba brdc b rbad???????? ? ? ?????? ??????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?w r 1r1r1證明：由于 79 1211c b c b a bb a b a b cd a c b???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?根據(jù)線性代數(shù)的性質(zhì)有 不妨令 1 11 1 1 [ ] [ ]TTTTTabbc???????? ? ????? ???? ??r r r 1d r 1 r 1r 1 1 1=2d ac b?d注 意 與 區(qū) 別80 11[]1pr?? ????????w r 1 d2 Tp? ??ww這樣，由（ 9）得到的最優(yōu)權(quán)重向量改寫(xiě)為 在得到最優(yōu)權(quán)重的基礎(chǔ)上，最小方差為 1 1 1 1{ [ 1 ] [ ] } { [ ] }1pTprr ? ? ? ? ??? ? ? ?????d r 1 r 1 d1= [ 1 ] 1pprr ???????d1 1 1[ 1 ] [ ] [ ]1pTprr ? ? ? ???? ????d r 1 r 1 d（ 10） 81 121 cbcaa c b???? ???? ??d由于 （ 11） 21222 [ 1 ]12 1 ( 2 )Tpppppppwwrra br c rc r br aac b d?????????????? ? ? ??d所以 82 ? 這是均方二維空間中的雙曲線，不妨稱(chēng)為最小方差曲線（ min variance curve）。雙曲線的中心是（ 0， b/c），漸近線為 對(duì)（ 11）配方得到 22( / ) 1 /ppc r b c cd? ? ? ?即 222[ / ]11 / /pp r b cc d c? ???//ppr b c d c ???證畢 . 83 t點(diǎn)是全局最小方差組合點(diǎn)（ global minimum variance portfolio point） wt /bc1/cprp?84 ? 性質(zhì) 2：全局最小方差點(diǎn)的權(quán)重向量為 1g c??? 1w? 證明：由于 g點(diǎn)是最小方差前沿的一個(gè)點(diǎn)，故它滿足（ 11），即 2222() gggga b r c rra c b?????（ 12） 對(duì)（ 12）求駐點(diǎn) 2 ( ) / 0g g g gr r b c r?? ? ? ? ? ?85 所以， 代入（ 10）得到 /gr b c?11[]1ggr?? ???? ????w r 1 d12/1[]1c b b cbaa c b? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?r111 2201[] ba c b cac???????? ? ???? ??????1r186 ? 注意點(diǎn) wt以下的部分，由于它違背了均方準(zhǔn)則，被理性投資者排除，這樣，全局最小方差點(diǎn) wt以上的部分（子集），被稱(chēng)為均方效率邊界 (meanvariance efficient frontier) wt prp?87 ? 例：假設(shè) 3項(xiàng)不相關(guān)的資產(chǎn)，其收益的均值分別為 1， 2， 3，方差都為 1，求解有效前沿。 = (1 , 2 , 3 ) Tr1 0 00 1 00 0 1????????????由題意可知 1212, ( ) ( 1 )T T Tpw Lr?? ??? ? ? ? ? ?w w w r w 1T pr?wr88 31 1 1 2 1 1 21132 1 2 2 2 1 21233 1 3 2 3 1 21331 2 3131 2 3102030231jjjjjjjjji i piiiLw r wwLw r wwLw r www r w w w rw w w w? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ????????89 1212121 2 314 66 3 111 , 2234 1 2,3 2 3 2 3ppppprrrrrw w w?????????????? ? ? ?? ? ? ? ?2221 2 32w w w w w7 232pprr? ? ? ? ?? ? ?TΣ90 ? 由此可求得最小方差點(diǎn) 222272320213, 0 .5 833pppprrrr????? ? ???????令 ，91 wt 27232 pp rr? ? ? ? 2 prp?92 說(shuō)明 ? 本例中若未給定組合的回報(bào)，則資產(chǎn)組合的最優(yōu)邊界是 1個(gè)集合 —— 雙曲線。 ? 一旦給定資產(chǎn)組合回報(bào)，則從雙曲線中挑選出一個(gè)點(diǎn) ? 如何從資產(chǎn)組合最優(yōu)前沿上確定 1個(gè)合適的資產(chǎn)組合，作為投資對(duì)象，則取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好 ? 愿意冒險(xiǎn)的人，需要較高的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，則組合回報(bào)要高。 93 性質(zhì) 3：兩基金分離定理（ twofund separation theorem） ? 兩基金分離定理：在均方效率曲線上任意兩點(diǎn)的線性組合，都是具有均方效率的有效組合。 ? 假設(shè) wa和 wb是在給定收益 ra和 rb（ ra≠ rb）是具有均方效率的資產(chǎn)組合（基金），則 ? 命題 1：任何具有均方效率的資產(chǎn)組合都是由 wa和 wb的線性組合構(gòu)成 ? 命題 2：反之，由 wa和 wb線性組合構(gòu)成的資產(chǎn)組合，都具有均方效率。 94 證明 1 ：對(duì)于給定 ( 1 ) , 0 1c a br k r k r k? ? ? ? ?條件下的資產(chǎn)組合滿足均方效率最優(yōu)權(quán)重為 11[]1ccr?? ????????w r 1 d11 ( 1 )[]( 1 )abk r k rkk?? ?????? ??????r 1 d( 1 )abkk? ? ?ww1 1 1 1[ ] ( 1 ) [ ]11abrrkk? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?r 1 d r 1 d即 c是 a和 b的線性組合，命題 1證畢。 95 ? 證明 2：反過(guò)來(lái)，因?yàn)? ( 1 )c a bkk? ? ?w w w11[ ] , , ,1iir i a b?? ??? ? ?????w r 1 d且 已 知 則1 1 1 1[ ] ( 1 ) [ ]11abcrrkk? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?w r 1 d r 1 d即 wc滿足均方效率的最優(yōu)權(quán)重，命題 2證畢 . 11[]1cr?? ???? ????r 1 d11 ( 1 )[]( 1 )abk r k rkk?? ?????? ??????r 1 d96 兩基金分離定理的意義 ? 定理的前提：兩基金（有效資產(chǎn)組合）的期望收益是不同的，即 兩基金分離 。 1. 一個(gè)決定買(mǎi)入的均方效率資產(chǎn)組合的投資者，只要投資到任何兩個(gè)具有均方效率和 不同收益率 的基金即可。 ? 投資者無(wú)須直接投資于 n 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而只要線性地投資在兩種基金上就可以了。 97 2. 計(jì)算上的意義：要獲得有效邊界，我們只需要獲得兩個(gè)解，然后對(duì)解進(jìn)行組合即可。（比如先計(jì)算全局最小方差點(diǎn)），確定初始解的特別簡(jiǎn)單的方法是令 11220110??????????????和98 1112????? ? ? ?w r 1由 1201????? ??第 一 步 ， 設(shè)為得到初始解 V1，需求解下面的線性方程組 1 1 1?? ? ? ? ?V 1 V 11 1 1 112V ( , , .. ., )nv v v?得到向量 然后將其單位化，即 1 1 11/ni j jjw v v?? ?這樣向量 1 1 1 112( , , ..., )nw w w?w就是均方效率解。 99 1 1112210???????? ? ? ????r1第 二 步 ， 設(shè) 由為得到初始解 V2，需求解下面的線性方程組 2 1 2?? ? ? ? ?V r V r2 2 2 212V ( , , ..., )nv v v?得到向量 然后將其單位化，得到 向量 2 2 2 212( , , ..., )nw w w?w也是均方效率解。 這樣得到了最優(yōu)組合 1和 2，可以通過(guò)對(duì)其進(jìn)行線性組合得到，并根據(jù)組合的均值、方差公式，計(jì)算得到其他均方點(diǎn)。 100 最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合 1. 由于假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以首先被排除。 2. 雖然投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個(gè)資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度。 3. 度量投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的無(wú)差異曲線與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。 101 理性投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的描述 —— 無(wú)差異曲線 同一條無(wú)差異曲線 , 給投資者所提供的效用（即滿足程度）是無(wú)差異的，無(wú)差異曲線向右上方傾斜 , 高風(fēng)險(xiǎn)被其具有的高收益所彌補(bǔ)。對(duì)于每一個(gè)投資者 ,無(wú)差異曲線位置越高，該曲線上對(duì)應(yīng)證券組合給投資者提供的滿意程度越高 。 102 不同理性投資者具有不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度 由無(wú)差異曲線族的陡峭程度來(lái)反映。無(wú)差異曲線越陡峭，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)。 圖 a 代表的投資者與圖 b 代表的投資者相比，風(fēng)險(xiǎn)水平增加相同幅度 , 圖 a 代表的投資者要求收益率的補(bǔ)償要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖 b 所代表的投資者。 因此，圖 a 對(duì)應(yīng)的投資者更加厭惡風(fēng)險(xiǎn)。 103 最優(yōu)組合的確定 ? 最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無(wú)差異曲線 I2與有效集相切的切點(diǎn)Ｏ處。由 G點(diǎn)可見(jiàn)，對(duì)于更害怕風(fēng)險(xiǎn)的投資者，他在有效邊界上的點(diǎn)具有較低的風(fēng)險(xiǎn)和收益。 104 資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點(diǎn) ? 首次對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行精確的描述，解決對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的衡量問(wèn)題，使投資學(xué)從一個(gè)藝術(shù)邁向科學(xué)。 ? 分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)并不重要，重要的是組合的風(fēng)險(xiǎn)。 ? 從單個(gè)證券的分析，轉(zhuǎn)向組合的分析 資本資產(chǎn)定價(jià)模型概述 ?資本資產(chǎn)定價(jià)模型（ Capital Asset Pricing Model， CAPM）是由美國(guó) Stanford大學(xué)教授夏普等人在馬克維茨的證券投資組合理論基礎(chǔ)上提出的一種證券投資理論。 ?CAPM解決了所有的人按照組合理論投資下，資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn)的問(wèn)題。 ?CAPM 理論包括兩個(gè)部分：資本市場(chǎng)線（ CML）和證券市場(chǎng)線（ SML）。 ? 上節(jié)中，我們討論了由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形。 ? 假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的具有正的期望收益，且其方差為 0。 ? 將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)加入已經(jīng)構(gòu)成