【文章內(nèi)容簡介】 差） ? 2 占優(yōu) 1。 2 占優(yōu)于 3。 4 占優(yōu)于 3。 51 風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的無差異曲線（Indifference Curves） Expected Return Standard Deviation Increasing Utility P 2 4 3 1 52 ? 從風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資來看，收益帶給他正的效用，而風(fēng)險(xiǎn)帶給他負(fù)的效用，或者理解為一種負(fù)效用的商品。 ? 根據(jù)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的無差異曲線，若給一個(gè)消費(fèi)者更多的負(fù)效用商品，且要保證他的效用不變，則只有增加正效用的商品。 ? 根據(jù)均方準(zhǔn)則，若均值不變，而方差減少，或者方差不變，但均值增加，則投資者獲得更高的效用，也就是偏向西北（左上方）的無差異曲線。 53 風(fēng)險(xiǎn)中性（ Risk neutral）投資者的無差異曲線 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性型的投資者對風(fēng)險(xiǎn)無所謂，只關(guān)心投資收益。 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在金融工程中具有核心的地位。 Expected Return Standard Deviation 54 風(fēng)險(xiǎn)偏好 (Risk lover)投資者的無差異曲線 Expected Return Standard Deviation ? 風(fēng)險(xiǎn)偏好型的投資者將風(fēng)險(xiǎn)作為 正效用 的商品看待，當(dāng)收益降低時(shí)候，可以通過風(fēng)險(xiǎn)增加得到效用補(bǔ)償。 55 組合的可行集和有效集 ? 可行集與有效集 ? 資產(chǎn)組合的機(jī)會(huì)集合（ Portfolio opportunity set），又稱可行集，即在資金約束下，可構(gòu)造出的所有組合的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)（方差或標(biāo)準(zhǔn)差）。 ? 每一個(gè)組合在均方平面上就是 一個(gè)點(diǎn) ，因此，可行集是一個(gè)區(qū)域。 ? 有效組合（ Efficient portfolio ）： 給定風(fēng)險(xiǎn)水平下的具有最高收益的組合， 給定收益水平下具有最小風(fēng)險(xiǎn)的組合。 ? 有效集（ Efficient set） ：有效組合的集合，又稱為 有效邊界（ Efficient frontier） 。 56 兩種 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) 構(gòu)成的組合 ? 若已知兩種資產(chǎn)的期望收益、方差和它們之間的相關(guān)系數(shù)，隨著投資權(quán)重 w的變化，就構(gòu)成了可行集。 121 1 2 2 1 1 1 22 2 2 2 21 1 2 2 1 2 122 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 122 2 2 21 1 1 2 1 1 1 2 122 2 2 21 1 1 2 1 1 1 2 121( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )pppwwr w r w r w r w rw w w ww w w ww w w ww w w w? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?＋＋ ＋57 兩種完全正相關(guān)資產(chǎn)的可行集 ? 命題 1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。 ? 證明： 121 1 1 1 21 2 1 21 1 1 222121 2 1 21 2 1 2221 2 1 21( ) ( 1 )( ) / ( )( ) ( 1 ) ( 1 ) pppp p ppppw w wwr r w r w rrrr r r rr?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?????? ? ???－－ －58 若不允許賣空（ W≥ 0 ），當(dāng)權(quán)重 w1從 1減少到 0時(shí)可以得到一條直線段，即為完全正相關(guān)的兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可行集。 11( , )r ?22( , )r ?prp?59 兩種完全負(fù)相關(guān)資產(chǎn)的可行集 ? 兩種資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)，即 ρ12 =1，則有 1 1 1 1 22 2 2 2p 1 1 1 1 2 1 1 1 21 1 1 221 p 11221 p 1 1 1 1 21221 p 1 1 2 1 112( ) ( 1 )( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) | ( 1 ) |( ) 0( ) ( 1 )( ) ( 1 )pr w w r w rw w w w wwwwww w w ww w w w? ? ? ? ????????? ? ????? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ??? ? ? ??當(dāng) 時(shí) ,當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，60 命題 2：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。 證明： 21122p 1 1 1 1 2 11222121 2 1 21 2 1 2221 2 1 21( ) ( 1 )( ) ( 1 ) pppppppww w w wr r rr r r rr??????? ? ???? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ?????? ? ???情 形 ：61 21121 1 2 1 11 2 1 2221 2 1 22( ) ( 1 )( ) pp p pww w wr r r rrr???? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ???情 形 ： ， 同 理 可 證122212rr r???? ??22( , )r ?11( , )r ?prp?62 兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合的可行集 1 1 1 1 22 2 2 21 1 1 1 2 1 1 1 2 122 2 2 21 1 1 1 21( ) ( 1 )( ) ( 1 ) 2 ( 1 )0( ) ( 1 )1pppr w w r w rw w w w ww w w?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ???? ? ?當(dāng) 1 時(shí)＋＝尤 其 當(dāng) ＝ 時(shí)＝這 是 一 條 二 次 曲 線 ，事 實(shí) 上 ， 當(dāng) 1 時(shí) ， 可 行 集 都 是 二 次 曲 線 。63 總結(jié)：在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的可行集（ W≥ 0） 11( , )r ?22( , )r ?122212rr r???? ??p?pr1??0??1???1???64 121212121212: ( 1 ) 1 ( 2) 1 ,3 1 1?????????? ? ?一 、 可 行 集 的 彎 曲 程 度 取 決 于 相 關(guān) 系 數(shù) 。 隨 著 的 增 大 ， 彎 曲 程 度 增 加當(dāng) 時(shí) ， 彎 曲 度 最 小 ， 為 一 條 直 線當(dāng) 時(shí) ， 彎 曲 度 最 大 呈 現(xiàn) 折 線 狀 （ ） 當(dāng) ， 就 介 于 直 線 和 折 線 之 間 ， 成 為 平 滑 的 曲 線 ， 而 且 越 大 越 彎 曲 。二、 在均方平面上，任意兩項(xiàng)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合都位于兩項(xiàng)資產(chǎn)連線的左側(cè)。 65 3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合二維表示 ? 一般地，當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增加時(shí)，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負(fù)）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。 1 2 3 4 prp?66 ? 類似于 3種資產(chǎn)構(gòu)成組合的算法，我們可以得到一個(gè)月牙型的區(qū)域?yàn)?n種資產(chǎn)構(gòu)成的組合的可行集。 n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合二維表示 prp?67 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效集 ? 均方準(zhǔn)則：在可行集中，有些投資組合會(huì)明顯地優(yōu)于另一些投資組合，其特點(diǎn)是 ? 給定風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率最大； ? 給定收益，風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）最小。 滿足這兩個(gè)條件的資產(chǎn)組合，即為有效組合。 ? 由所有有效組合構(gòu)成的集合，稱之為有效集或有效邊界。 ? 投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無須考慮。 68 prp?s p G A B H ? 最小風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn) G ? 有效前沿： GS ? GS上的任意點(diǎn)都滿足均方準(zhǔn)則 ? 非有效組合： GS線右下方的所有區(qū)域 69 總 結(jié) ? 兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的可行集 ? 完全正相關(guān)是一條直線 ? 完全負(fù)相關(guān)是兩條直線 ? 完全不相關(guān)是一條拋物線 ? 其他情況是界于上述情況的曲線 ? 兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效集：左上方的線 ? 多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界 ? 可行集：月牙型的區(qū)域 ? 有效集：最小風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)以上的左上方曲線 70 馬科維茨模型 （ n項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效前沿） 假定 1：市場上存在 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，令 Tnw ),( 21 ??代表投資到這 n種資產(chǎn)上的財(cái)富的相對份額，則有： 11???niiw且賣空不受限制，即允許 0iw ?2. 也是一個(gè) n維列向量，它表示每一種資產(chǎn)的期望收益率，則組合的期望收益 12( , , , ) Tnr r r?r2?n71 Tpr ? wr 表示資產(chǎn)之間的方差協(xié)方差，有 11 12 121 22 212nnn n nn? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ?????0?注：方差協(xié)方差矩陣是正定、 非奇異矩陣 。所以，對于任何非 0的向量 a，都有 ，則 0Taa??72 221m i n m i n2..1TTppwwTpTs t r??? ? ? ? ???w w w wwrw1其中， 是所有元素為 1的 n維列向量。由此構(gòu)造拉格朗日函數(shù) (1 , 1 , 1 , , 1 ) T?11212,1 ( ) ( 1 )2T T Tpw Lr?? ??? ? ? ? ? ?w w w r w 173 1212010TpTLLrL?????? ? ? ? ???? ? ???? ? ??w r 1 0wwrw1注意到方差 協(xié)方差矩陣正定，二階條件自動(dòng)滿足，故只要求一階條件 其中， 0=[0,0,…,0] （ 1） （ 2） （ 3） 74 （ 4） 由（ 1）得到 121112??????? ? ?? ? ? ? ?w r 1w r 1把（ 4）代入（ 2），得到 111211121112() ( ) ( ) TTpTTTTr ????????????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?w r r 1 rr r 1 rr r 1 r（ 5） 75 1111112TTTTTTabcd a c b??????? ? ?? ? ?? ? ??r r r r1 r r 11 1 1 1為化簡，定義 把（ 4）代入（ 3） 111211121 ( ) TTTT????????? ? ? ? ?? ? ? ?w 1 r 1 1r 1 1 1（ 6） 76 這樣我們就可以將（ 5）和（ 6）改寫為 12121pr a bbc???????????2 2ppa b r a b ra c b d? ?????解得 1 2ppc r b c r ba c b d? ?????（ 7） （ 8） 77 11ppc r b a