傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型上課(參考版)
2025-04-07 03:21本頁面
【正文】 1. 在傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型中，假設(shè)給第二類人員（即易受傳染者）注射預(yù)防針，注射的速率同第二類人員數(shù)與第一類人員（即傳染者）人數(shù)的平方之積成正比。Cooke除了考慮潛伏期，還引進(jìn)了阻尼閾值的概念，這個(gè)概念說明個(gè)別成員從易受感染者成為傳染者之前可能反復(fù)發(fā)病，Cooke模型是很復(fù)雜的泛函微分方程。方程(12)的初始條件為 方程(12)所描述的隨機(jī)傳染病流行數(shù)學(xué)模型可以推得確定性模型(6)。因此，表征隨機(jī)傳染病流行過程的差分方程為： (12)其中。這種傳染病傳播的機(jī)制如下：(1) 在群體中個(gè)體均勻的混和；(2) 在區(qū)間()內(nèi)，一個(gè)新傳染病例出現(xiàn)的概率為，其中是傳染率；(3) 在區(qū)間()內(nèi)，排除一個(gè)個(gè)體的概率為，其中是排除率；(4) 在區(qū)間()內(nèi)，有多次轉(zhuǎn)移（即多個(gè)傳染或排除）發(fā)生的概率為；(5) 在區(qū)間()內(nèi)，無變化的概率為，令。但人生病是隨機(jī)的，因而建立隨機(jī)的傳染病的數(shù)學(xué)模型才能更實(shí)際的反映傳染病的傳播。下面介紹一般隨機(jī)傳染病模型。這就表明了模型三是在固定的居民中傳染病傳播的準(zhǔn)確而可靠的數(shù)學(xué)模型。每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)行比較，必須解出（6）式中的第三個(gè)方程： 因?yàn)? ， ， 所以 有 (10)方程(10)雖是可分離變量的，但是不能用顯式求解。因?yàn)橹挥心切﹣磲t(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。這個(gè)定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所波及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。證明略。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病的人數(shù)為。生物數(shù)學(xué)家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個(gè)定理。當(dāng)人口擁擠、密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好，有良好的公共衛(wèi)生設(shè)施和較好的管理而排除率高時(shí)，則疾病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)卻很快被消滅。由以上分析可以得出如下結(jié)論：只是當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值 時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。由上分析可以得出如下結(jié)論： 如果，則隨著s(t)減小到時(shí)，I(t)增加，且當(dāng)時(shí)，I(t)達(dá)到最大值。因此，如果小于，則I(t)單調(diào)減小到零，s(t)單調(diào)減小到。由(7)知I = 0時(shí)。 由連續(xù)函數(shù)中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點(diǎn)， 使得。當(dāng)時(shí)，記，有
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