傳染病傳播的數(shù)學模型上課(參考版)
2025-04-07 03:21本頁面
【正文】 1. 在傳染病傳播的數(shù)學模型中，假設給第二類人員（即易受傳染者）注射預防針，注射的速率同第二類人員數(shù)與第一類人員（即傳染者）人數(shù)的平方之積成正比。Cooke除了考慮潛伏期，還引進了阻尼閾值的概念，這個概念說明個別成員從易受感染者成為傳染者之前可能反復發(fā)病，Cooke模型是很復雜的泛函微分方程。方程(12)的初始條件為 方程(12)所描述的隨機傳染病流行數(shù)學模型可以推得確定性模型(6)。因此，表征隨機傳染病流行過程的差分方程為： (12)其中。這種傳染病傳播的機制如下：(1) 在群體中個體均勻的混和；(2) 在區(qū)間()內，一個新傳染病例出現(xiàn)的概率為，其中是傳染率；(3) 在區(qū)間()內，排除一個個體的概率為，其中是排除率；(4) 在區(qū)間()內，有多次轉移（即多個傳染或排除）發(fā)生的概率為；(5) 在區(qū)間()內，無變化的概率為，令。但人生病是隨機的，因而建立隨機的傳染病的數(shù)學模型才能更實際的反映傳染病的傳播。下面介紹一般隨機傳染病模型。這就表明了模型三是在固定的居民中傳染病傳播的準確而可靠的數(shù)學模型。每天報告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。所以，為了把數(shù)學模型所預示的結果同疾病的實際情況進行比較，必須解出（6）式中的第三個方程： 因為 ， ， 所以 有 (10)方程(10)雖是可分離變量的，但是不能用顯式求解。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。這個定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時，每次所波及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。證明略。并設最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病的人數(shù)為。生物數(shù)學家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個定理。當人口擁擠、密度高，缺乏應有的科學文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低，社會條件好，有良好的公共衛(wèi)生設施和較好的管理而排除率高時，則疾病在有限范圍內出現(xiàn)卻很快被消滅。由以上分析可以得出如下結論：只是當居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值 時傳染病才會蔓延。由上分析可以得出如下結論： 如果，則隨著s(t)減小到時，I(t)增加，且當時，I(t)達到最大值。因此，如果小于，則I(t)單調減小到零，s(t)單調減小到。由(7)知I = 0時。 由連續(xù)函數(shù)中間值定理及單調性知，存在唯一點， 使得。當時，記，有
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