【導(dǎo)讀】1．掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫(huà)法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次。函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等；2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對(duì)稱(chēng)變換、翻折變換、伸縮變換等；對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函。數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問(wèn)題；4．通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)21132,,,,xyxyxyxyxy??????的圖像，了解它們的變化情況。占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、函數(shù)綜合問(wèn)題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來(lái)考察；函數(shù)的工具作用；掌握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)。樣的變換，這也是個(gè)難點(diǎn)。

　　

【正文】 ?? ???????????????????xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf 當(dāng) 10 ???x 時(shí)， ? ? ? ? ? ? ? ? 222 102121 xfxxfxxfxf ?????????? 222 122 xxxxx ?????? )1(22 222 xxxxx ?????????? ??????????? ?? .4545)21(122?????????xxx 綜上，問(wèn)題獲證。 點(diǎn)評(píng)：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù) ba, 的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 ? ? ? ? ? ?1,1,0 ?fff 來(lái)表示 cba , 。 例 12．已知二 次函數(shù) f x ax bx c( ) ? ? ?2 ，當(dāng) ? ? ?1 1x 時(shí)，有 ? ? ?1 1f x( ) ，求證：當(dāng) ? ? ?2 2x 時(shí)，有 ? ? ?7 7f x( ) 解析：由題意知： cbafcfcbaf ???????? )1(,)0(,)1( ， 第 27 頁(yè) 共 32 頁(yè) ∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21 fcffbfffa ????????， ∴ f x ax bx c( ) ? ? ?2 ? ?222 1)0(2)1(2)1( xfxxfxxf ?????????? ??????????? ??。 由 ? ? ?1 1x 時(shí)，有 ? ? ?1 1f x( ) ，可得 ,1)1( ?f ? ? ,11 ??f ? ? 10 ?f 。 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? 7)0(3)1(1303113)2( ????????? fffffff , ? ? ? ? ? ? ? ? 7)0(3)1(3103131)2( ?????????? fffffff 。 （ 1）若 ? ?2,22 ??? ab，則 ??xf 在 ? ?2,2? 上單調(diào)，故當(dāng) ? ?2,2??x 時(shí)， ))2(,)2(m a x ()( m a x ffxf ?? ∴ 此時(shí)問(wèn)題獲證 . （ 2）若 ? ?2,22 ??? ab，則當(dāng) ? ?2,2??x 時(shí)， )2,)2(,)2(m a x()( m a x ?????? ??? abfffxf 又? ? 724 11214 )1()1(202242 2 ?????????????????????? ? ffabfbabcabcabf， ∴ 此時(shí)問(wèn)題獲證。 綜上可知：當(dāng) ? ? ?2 2x 時(shí)，有 ? ? ?7 7f x( ) 。 點(diǎn)評(píng)： 研究 )(xf 的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說(shuō)，應(yīng)該盡量用已知條件來(lái)表達(dá)參數(shù) cba , . 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮 )1(f ，)1(?f ， )0(f ，這樣做的好處有兩個(gè)：一是 cba , 的表達(dá)較為簡(jiǎn)潔，二是由于 01和? 正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來(lái)達(dá) 到控制二次函數(shù)范圍的目的。 要考慮 ??xf 在區(qū)間 ? ?7,7? 上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮第 28 頁(yè) 共 32 頁(yè) ??xf 在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值。 題型 7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例 13．（ 1996 上海，文、理 8）在下列圖象中，二次函數(shù) y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù) y=（ ab ）x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指 數(shù)函數(shù)圖象可以看出 0ab y=a（ x+ ab2 ） 2－224ab ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－ ab2 ，－ ab42 ），又由 0ab 1，可得－ 21 － ab2 ，可選A。 解析二： 求 y=ax2+bx 與 x 軸的交點(diǎn)，令 ax2+bx=0，解得 x=0或 x=－ ab ，而－ 1－ ab 0.故選 A。 點(diǎn)評(píng)：本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。 例 14． （ 20xx 全國(guó)高考題）設(shè) a∈ R，函數(shù) f(x)=x2+|x－ a|+1,x∈ R. （ 1）討論 f(x)的奇偶性 （ 2）求 f(x)的最小值 . 解：（ 1）顯然 a=0 時(shí)， f(x)為偶函數(shù)， 當(dāng) a≠ 0 時(shí)， f(a)=a2+1, f(－ a)=a2+2|a|+1 f(a)≠ f(－ a), f(a)+f(－ a)≠ 0 ∴ 此時(shí) f(x)為非奇非偶函數(shù) . （ 2）首先應(yīng)先去掉絕對(duì)值，再進(jìn)行討論 . ①當(dāng) x≤ a 時(shí)， 43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf . 第 29 頁(yè) 共 32 頁(yè) 若21?a,則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上單調(diào)遞減， ∴ f(x)的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 (I)) 若21?a，則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上的最小值為 af ??43)21(（如圖 II). ②當(dāng) x≥ a 時(shí)，43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf， 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 af ???43)21(（如圖 III）。 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上單調(diào)遞增。 則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 IV)。 綜上，當(dāng)21??a時(shí)， f(x)最小值為 a?43。 當(dāng)2121 ??? a時(shí)， f(x)最小值為 a2+1。 當(dāng)21?a時(shí)， f(x)最小值為43?a。 點(diǎn)評(píng)：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類(lèi)討論的思想。 題型 8：二次函數(shù)的綜合問(wèn)題 例 15．（ 20xx 浙江文 20 ） 已知函數(shù) ??fx 和 ??gx 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且? ? 2 2f x x x??。 第 30 頁(yè) 共 32 頁(yè) (Ⅰ )求函數(shù) ??gx的解析式； (Ⅱ )解不等式 ? ? ? ? 1g x f x x? ? ?； (Ⅲ )若 ? ? ? ? ? ? 1h x g x f x?? ? ?在 ? ?1,1? 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) ? 的取值范圍。 解析： (Ⅰ )設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上任意一點(diǎn) ? ?00,Q x y關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為? ?,Pxy ，則00000, ,2.0,2xxxxy y y y?? ????????? ? ??? ???即 ∵點(diǎn) ? ?00,Q x y 在函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上 ∴ ? ?2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 故 (Ⅱ )由 ? ? ? ? 21 2 1 0g x f x x x x? ? ? ? ? ?， 可 得 當(dāng) 1x? 時(shí)， 22 1 0xx? ? ? ，此時(shí)不等式無(wú)解 。 當(dāng) 1x? 時(shí)， 22 1 0xx? ? ? ，解得 112x? ? ?。 因此，原不等式的解集為 11,2???????。 （Ⅲ） ? ? ? ? ? ?21 2 1 1h x x x??? ? ? ? ? ? ① ? ? ? ?1 4 1 1 ,1h x x? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 在 上 是 增 函 數(shù) ， 1?? ?? ② 11.1x ?? ??? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 對(duì) 稱(chēng) 軸 的 方 程 為 ⅰ） 11 1 , 1 .1 ?????? ? ? ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 解 得 ⅱ） 11 1 , 1 0 .1 ???? ? ? ? ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 解 得 0.??綜 上 ， 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。 例 16． 已知函數(shù)xz axf 22)( ??。 （ 1）將 )(xfy? 的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù) )(xgy? ，求函數(shù) )(xgy?的解析式； （ 2）函數(shù) )(xhy? 與函數(shù) )(xgy? 的圖象關(guān)于直線 1?y 對(duì)稱(chēng)，求函數(shù) )(xhy? 的第 31 頁(yè) 共 32 頁(yè) 解析式； （ 3）設(shè) )()(1)( xhxfaxF ??，已知 )(xF 的最小值是 m 且 72??m ，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。 解析： (1) ? ? ? ? 。222 22 ?? ???? xx axfxg (2)設(shè) ? ?xhy? 的圖像上一點(diǎn) ? ?yxP , ，點(diǎn) ? ?yxP , 關(guān)于 1?y 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ? ?yxQ ?2, ，由點(diǎn) Q 在 ? ?xgy? 的圖像上，所以 yaxx ??? ?? 222 22， 于是 ,222 22 ?? ??? xx ay 即 ? ? 。222 22 ?? ??? xx axh （ 3） 22 )14(2411)()(1)( ????????? ???? xx aaxhxfaxF。 設(shè) xt 2? ，則 21444)( ????? tata axF。 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 7221444 ?????? tata a對(duì) 0?t 恒成立 . 即 ? ? 014744 2 ????? atta a對(duì) 0?t 恒成立 . （ *） 故必有 044 ??aa. （否則，若 044 ??aa，則關(guān)于 t 的 二 次 函 數(shù)? ?14744)( 2 ????? atta atu 開(kāi)口向下，當(dāng) t 充分大時(shí)，必有 ?? 0?tu ；而當(dāng) 044 ??aa時(shí)，顯然不能保證（ *）成立 .），此時(shí)，由于二次函數(shù) ? ?14744)( 2 ????? atta atu的對(duì)稱(chēng)軸 0847 ???aat，所以，問(wèn)題等價(jià)于 0??t ，即? ????????????????0144447044aa aaa， 解之得： 221 ??a 。 第 32 頁(yè) 共 32 頁(yè) 此時(shí)， 014,044 ???? aaa，故 21444)( ????? tata axF在aaat ? ?? 4 )14(4取得最小值 ? ? 214442 ????? aa am滿足條件。 點(diǎn)評(píng)： 緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式 ,44222a bacabxay ???????? ??對(duì)稱(chēng)軸、最值、判別式顯合力。 五．思維總結(jié) 1．函數(shù)零點(diǎn)的求法： ①（代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)根； ②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。 2． 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征 . 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中 一種非常重要的思想方法 . 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問(wèn)題。 由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 （ 1）二次函數(shù)的一般式 cbxaxy ??? 2 )0( ? 中有三個(gè)參數(shù) cba , . 解題的關(guān)鍵在于：通過(guò)三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)。 （ 2）數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，可以化難為易，形象直觀。因?yàn)槎魏瘮?shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 在區(qū)間]2,( ab??? 和區(qū)間 ),2[ ??? ab 上分別單調(diào)，所以函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間 端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得。