【正文】 m 為極小值，而且 對(duì) x∈ (－ m, +∞ )都有 f(x)≥ f(1－ m)=1－ m 故當(dāng)整數(shù) m≤ 1 時(shí)， f(x) ≥ 1－ m≥ 0 (2)證明：由（ I）知，當(dāng)整數(shù) m1 時(shí)， f(1－ m)=1m0, 函數(shù) f(x)=x－ ln(x+m),在 ]1,[ mme m ??? 上 為連續(xù)減函數(shù) . ,)1()(,10)l n()(異號(hào)與時(shí)當(dāng)整數(shù) mfmefmemmememefmmmmm???????????????? 由所給定理知，存在唯一的 0)(),1,( 11 ???? ? xfmmex m 使 而當(dāng)整數(shù) m1 時(shí)， ),1121(032 )12(2213)11(3)( 222歸納法證明上述不等式也可用數(shù)學(xué)????????????????mmmmmmmmemef mmm? 類似地，當(dāng)整數(shù) m1時(shí)，函數(shù) f(x)=xln(x+m),在 ],1[ mem m ?? ? 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1m)與 )( 2 mef m ? 異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的 0)(],1[ 22 ???? ? xfmemx m 使 故當(dāng) m1 時(shí)，方程 f(x)=0 在 ],[ 2 meme mm ??? 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。 題型 2：零點(diǎn)存在性定理 例 3．（ 20xx 廣東 21） 設(shè)函數(shù) ( ) ln( )f x x x m? ? ?， 其中常數(shù) m 為整數(shù)。 （Ⅰ）試判斷函數(shù) ()y f x? 的奇偶性； （Ⅱ）試求方程 ()fx=0 在閉區(qū)間［－ 20xx， 20xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程 lgx+x=3 解所在的區(qū)間 。 當(dāng) x=2 時(shí)， lgx=lg2， 3x=1。 四．典例解析 題型 1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn) 例 1．（ 1）方程 lgx+x=3 的解所在區(qū)間為 （ ） A． (0， 1) B． (1， 2) C． (2， 3) D． (3， +∞ ) （ 2）設(shè) a 為常數(shù)，試討論方程 )lg ()3lg ()1lg ( xaxx ????? 的實(shí)根的個(gè)數(shù)。 ①方程 f(x)=0 的兩根中一根比 r 大，另一根比 r 小 ? a 3． 二次函數(shù)的基本性質(zhì) （ 1）二次函數(shù)的三種表示法 ： y=ax2+bx+c； y=a(x－ x1)(x－ x2)； y=a(x－ x0)2+n。 )(bf 0 ，則令 a = 1x （此時(shí)零點(diǎn) ),( 10 bxx ? ）； （ 4）判斷是否達(dá)到精度 ? ； 即若 ??? || ba ，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值 a （或 b ）；否則重復(fù)步驟 2~4。 二分法及步驟： 對(duì)于在區(qū)間 a[ ， ]b 上連續(xù)不斷，且滿足 )(af 即：方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)。 預(yù)計(jì) 20xx 年高考對(duì)本講的要求是：以二分法為重點(diǎn)、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來(lái)考察學(xué)生的能力。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 6） — 函數(shù) 與方程 一．課標(biāo)要求： 1． 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)第 16 頁(yè) 共 32 頁(yè) 的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系 ； 2． 根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 五．思維總結(jié) 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換。 反過(guò)來(lái)，同樣證明，在曲線 1C 上的點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)在曲線 C 上 。 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口，解題思路：圖形面積不第 14 頁(yè) 共 32 頁(yè) 會(huì)拆拼、數(shù)形結(jié)合 、等價(jià)轉(zhuǎn)化。 （ 1）求函數(shù) f(a)和 g(a)的表達(dá)式； （ 2）比較 f(a)與 g(a)的大小，并證明你的結(jié)論。 解析：（Ⅰ）由 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 1 4 )( 7 ) ( 7 ) ( ) ( 1 4 )f x f x f x f x f x f xf x f x f x f x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 第 13 頁(yè) 共 32 頁(yè) )10()( ??? xfxf ， 從而知函數(shù) )(xfy? 的周期為 10?T 又 ( 3 ) (1) 0 , ( 7 ) 0f f f? ? ?而， ( 3 ) ( 3 1 0 ) ( 7 ) 0f f f? ? ? ? ? ?，所以 ( 3) (3)ff? ?? 故函數(shù) )(xfy? 是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 ( 3 ) ( 1 ) 0 , ( 11 ) ( 13 ) ( 7 ) ( 9) 0f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? 故 f(x)在 [0,10]和 [－ 10,0]上均有有兩個(gè)解， 從而可知函數(shù) )(xfy? 在 [0,20xx]上有 402 個(gè)解， 在 [－ ]上有 400 個(gè)解 ,所以函數(shù) )(xfy? 在 [－ 20xx,20xx]上有 802 個(gè)解。認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件 f(x1+x2) ＝ f(x1) 注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能用并集號(hào) ? 。 O x y 第 11 頁(yè) 共 32 頁(yè) 解析： 先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來(lái)的，它應(yīng)是由反 比 例 函 數(shù) 平 移 而 來(lái) ，y xx xx? ?? ? ? ? ??3 23 2 3 33( )?? ? ?3 3 2x （這種變換是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵），由此說(shuō)明， y xx? ??3 23是由 yx??3圖象向右平移 3 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位得到的，如圖所示：具體畫(huà)圖時(shí)對(duì)于圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即 ????? xyyx ,0,1,0 32。 答案：選項(xiàng)為 B。選項(xiàng)為 A。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。 題型 5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用 例 9． 已知 10 ??a ，方程 |log||| xa ax ? 的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 2 或 3 或 4 根據(jù)函數(shù)與方 程的關(guān)系，知方程 |log||| xa ax ? 的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù) ||xay? 與函數(shù)|log| xy a? 的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：明確函數(shù)圖像在 x 軸上下方與函數(shù)值符號(hào)改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號(hào)為正、異號(hào)為負(fù)”。由函數(shù)圖像的變換的函數(shù)的性質(zhì)逆向變換既可，注意函數(shù)圖像的變換中平移、對(duì)稱都不會(huì)改變?cè)瓉?lái)函數(shù)的形狀。 例 6． （ 05 廣東理 9） 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù) )(xfy? 和 )(xgy? 的圖象關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱。 題型 3：函數(shù)的圖象變換 例 5． （ 20xx 全國(guó)理， 10）函數(shù) y=1－ 11?x 的圖象是（ ） 解析一：該題考查對(duì) f（ x） =x1 圖象以及對(duì)坐標(biāo)平移公式的理解，將函數(shù) y= x1 的圖形變形到 y= 11?x ，即向右平移一個(gè)單位，再變形到 y=－ 11?x 即將前面圖形沿 x 軸翻轉(zhuǎn)，再變形到 y=－ 11?x +1，從而得到答案 B。因此 A 項(xiàng)錯(cuò)第 7 頁(yè) 共 32 頁(yè) 誤。時(shí)間段內(nèi)的平均氣溫，應(yīng)該從開(kāi)始持續(xù)到平均氣溫左交點(diǎn)向右一段距離才開(kāi)始達(dá)到平均氣溫，持續(xù)上升一段時(shí)間，最后回落到平均氣溫。故選 A。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢(shì)和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問(wèn)題即可。 f(x)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/y=f(x) ax?? y=f(ax ) （ 3）識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性、周期性等等方面 。 （ 2）三 種圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等等 ； ①平移變換： Ⅰ、水平平移：函數(shù) ()y f x a??的圖像可以把函數(shù) ()y f x? 的圖像沿 x 軸方向向左 ( 0)a? 或向右 ( 0)a? 平移 ||a 個(gè)單位即可得到 ； 1） y=f(x) h左移? y=f(x+h)； 2） y=f(x) h右移? y=f(x?h)； Ⅱ、豎直平移：函數(shù) ()y f x a??的圖像可以把函數(shù) ()y f x? 的圖像沿 x 軸方向向上 ( 0)a? 或向下 ( 0)a? 平移 ||a 個(gè)單位即 可得到 ； 1） y=f(x) h上移? y=f(x)+h； 2） y=f(x) h下移? y=f(x)?h新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/。 從歷年高考形勢(shì)來(lái)看： （ 1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換 、伸縮變換、對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題的能力， 會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問(wèn)題 ； （ 2）函數(shù)綜合問(wèn)題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來(lái)考察； （ 3）與冪函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題主要以 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題； 預(yù)測(cè) 07 年高考函數(shù)圖象：（ 1）題型為 1 到 2 個(gè)填空選擇題；（ 2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題等方面出題； 函數(shù)綜合問(wèn)題：（ 1）題型為 1 個(gè)大題；（ 2）題目多 以知識(shí)交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用； 冪函數(shù)：?jiǎn)为?dú)出題的可能性很小，但一些具體問(wèn)題甚至是一些大題的小過(guò)程要應(yīng)用其性質(zhì)來(lái)解決； 三．要點(diǎn)精講 1．函數(shù)圖象 （ 1）作圖方法： 以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本 講座 的重點(diǎn) 。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問(wèn)題； 4． 通過(guò)實(shí) 例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù) 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?的圖像，了解它們的變化情況 。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3．識(shí)圖與作圖：對(duì)于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。 而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換 ， 這也是個(gè)難點(diǎn) 。 ③ 翻折變換： Ⅰ、函數(shù) | ( )|y f x? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像的 x 軸下方部分沿 x 軸翻折到 x 軸上方，去掉原 x 軸下方部分，并保留 ()y f x? 的 x 軸上方部分即可得到 ； y=f(x)cba oyx y=|f(x)|cba oyx Ⅱ、函數(shù) (| |)y f x? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像右邊沿 y 軸翻折到 y 軸左邊替代原 y 軸左邊 部分并保留 ()y f x? 在 y 軸右邊部分即可得到新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ y=f(x)cba oyx y=f(|x|)cba oyx ④伸縮變換： Ⅰ、函數(shù) ()y af x? ( 0)a? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng) ( 1)a? 或壓縮（ 01a??）為原來(lái)的 a 倍得到； y=f(x) ay?? y=af(x) Ⅱ、函數(shù) ()y f ax? ( 0)a? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng) (