【正文】 象中，二次函數(shù) y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù) y=（ ab ）A B C D 第 21 頁(yè) 共 31 頁(yè) x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出 0ab 1。 2．冪函數(shù) y x? ?? ?( , )0 1在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類： ??1 0 1? ?? ??0 圖 在考查學(xué)生對(duì)冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，所涉及的冪函數(shù)y x? ? 中 ? 限于在集合 ? ? ???? ???2 1 12 13 12 1 2 3， ， ， ， ， ， ，中取值。 ②對(duì)稱變換： Ⅰ、函數(shù) ()y f x??的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱即可得到 ； y=f(x) 軸y? y=f(?x) Ⅱ、函數(shù) ()y f x?? 的 圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 x 軸對(duì)稱即可得到 ； y=f(x) 軸x? y= ?f(x) Ⅲ、函數(shù) ()y f x?? ? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到 ； y=f(x) 原點(diǎn)? y= ?f(?x) Ⅳ、函數(shù) )(yfx? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱得到 。 作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；④描點(diǎn)連線，畫(huà)出函數(shù)的圖象 。 二．命題走向 函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。 五．思維總結(jié) 1． bNNaaN abn ??? lo g, （其中 1,0,0 ??? aaN ）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算 .在運(yùn)算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底； 2．要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)； 3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)； 4．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)（上面知識(shí)結(jié)構(gòu)表中的 12 個(gè)小點(diǎn)）是解決含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的問(wèn)題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識(shí)，要達(dá)到滾瓜爛熟，運(yùn)用自如的水平，在使用時(shí)常常還要結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的討論問(wèn)題是重點(diǎn)題型，解決這類問(wèn)題的最基本的分類方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分類； 6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問(wèn)題等等，因此要努力提高綜合能力。 解：令 logxty? ， ∵ 1x? ， 1y? ，∴ 0t? 。 且 ty alog? 在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)： 該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。 （ 3）若函數(shù) y=f(x)是增函數(shù)，求 a 的取值范圍。 于是當(dāng) bn≥ 1 時(shí)， BnBn－ 1，當(dāng) bn1 時(shí)， Bn≤ Bn－ 1， 因此數(shù)列 {Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21?n ≥ 1 得： n≤ 20。 則以 bn,bn+1,bn+2 為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是 bn+2+bn+1bn， 即 (10a)2+(10a)－ 10， 解得 a－ 5(1+ 2 )或 a5( 5 － 1)。 題型 8：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題 例 15． 在 xOy 平面上有一點(diǎn)列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),? ,Pn(an,bn)?，對(duì)每個(gè)自然數(shù) n 點(diǎn)Pn 位于函數(shù) y=20xx(10a)x(0a1)的圖象上，且點(diǎn) Pn,點(diǎn) (n,0)與點(diǎn) (n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以 Pn 為頂點(diǎn)的等腰三角形。 解： （ 1）易知 D 為線段 AB 的中點(diǎn) , 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中點(diǎn)公式得 D(a+2, log2 )4( ?aa )。 題型 7：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 例 13． 當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) y=logax 和 y=(1－ a)x 的圖象只可能是 ( ) A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx 解：當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) y=logax 的圖象只能在 A 和 C 中選， 又 a1 時(shí)， y=(1－ a)x 為減函數(shù)。 區(qū)別：“有意義問(wèn)題”正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問(wèn)題”來(lái)處理，而“定義域問(wèn)題”剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問(wèn)題”來(lái)解決（這里轉(zhuǎn)化成了解集問(wèn) 題，即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值） （ 3）易知 )(xg 得值域是 ),2[ ?? ，又 )(xg 得值域是 ),3[ 2 ???a ， 得 123 2 ????? aa ，故 a 得取值范圍為 {－ 1， 1}。 值域?yàn)?R： ?21log值 域?yàn)?R ?? 至少取遍所有的正實(shí)數(shù)， 則 0)3(4 2 ???? a ，解得實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ),3[]3,( ?????? 。對(duì)于抽象函數(shù)的處理要注意對(duì)應(yīng)法則的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 解：由于 2xy? 是增函數(shù)， ( ) 2 2fx? 等價(jià)于 3| 1 | | 1 |2xx? ? ? ? ① 1)當(dāng) 1x? 時(shí)， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ?， ?①式恒成立； 2)當(dāng) 11x? ? ? 時(shí)， | 1 | | 1 | 2x x x? ? ? ?， ①式化為 322x?，即 3 14 x??； 3)當(dāng) 1x?? 時(shí)， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ? ?， ①式無(wú)解； 綜上 x 的取值范圍是 3,4????????。 題型 5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用 例 9． 若函數(shù) my x ?? ? |1|)21(的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)，則 m 的取 值范圍是（ ） A． m≤－ 1 B．－ 1≤ m0 C． m≥ 1 D． 0m≤ 1 解：????????????)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx? ， 畫(huà)圖象可知－ 1≤ m0。 （ 2 ）當(dāng) 0a1 時(shí)，由 210 xx ?? ，有 210 xx aa ?? ， 121 ??xxa ，所以0)()( 12 ?? xfxf ，即 f(x)在 [0， +∞ ]上單調(diào)遞增。 解：令 txa ?log ，則 x= ta ， t∈ R。 點(diǎn)評(píng)：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來(lái)求解。 解：考察對(duì)數(shù)運(yùn)算。 題型 3：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程 例 5． 設(shè)關(guān)于 x 的方程 ???? ? bbxx (024 1 R） ， （ 1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍； （ 2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。 點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。 解：∵ 11223xx???， ∴ 11222( ) 9xx???， ∴ 129xx?? ? ? ， ∴ 1 7xx???， ∴ 12( ) 49xx???， 第 6 頁(yè) 共 31 頁(yè) ∴ 2247xx???， 又∵ 3 3 1 1 12 2 2 2( ) ( 1 ) 3 ( 7 1 ) 1 8x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 2233222 4 7 2 31 8 33xxxx??? ? ??????。 ③函數(shù)值的變化特征： 四．典例解析 題型 1：指數(shù)運(yùn)算 10 ??a 1?a ① 01 ?? yx 時(shí) ， ② 01 ?? yx 時(shí) ， ③ 010 ??? yx 時(shí) . ① 01 ?? yx 時(shí) ， ② 01 ?? yx 時(shí) ， ③ 100 ??? yx 時(shí) . 第 5 頁(yè) 共 31 頁(yè) 例 1． （ 1）計(jì)算： ])()()()945()833[( ???? ???； （ 2）化簡(jiǎn)：5 33 2332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa???????? ?。 2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) （ 1）指數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 稱指數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域?yàn)?R； 2）函數(shù)的值域?yàn)?),0( ?? ； 3）當(dāng) 10 ??a 時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) 1?a 時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。 （ 3）．對(duì)數(shù)的概念 ①定義：如果 )1,0( ?? aaa 且 的 b 次冪等于 N，就是 Nab? ，那么數(shù) b 稱以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 ,log bNa ? 其中 a 稱對(duì)數(shù)的底， N 稱真數(shù)。 ②性質(zhì)： 1） aa nn ?)( ； 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， aan n ? ； 3）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，??? ?? ??? )0( )0(|| aaaaaan。 預(yù)測(cè) 20xx 年對(duì)本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題； 2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。 2． 對(duì)數(shù)函數(shù) （ 1）理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用； （ 2）通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； 3．知道指數(shù)函數(shù) xay? 與對(duì)數(shù)函數(shù) xy alog? 互為反函數(shù)（ a＞ 0， a≠ 1）。 （ 3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； （ 4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理。即若 axn? ，則 x 稱 a 的 n 次方根 )1 ??? Nnn 且 ， 1）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， na的 次方根記作 na ； 2）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù) a 沒(méi)有 n 次方根，而正數(shù) a 有兩個(gè) n 次方根且互為相反數(shù)，第 2 頁(yè) 共 31 頁(yè) 記作 )0( ?? aan 。 （注）上述性質(zhì)對(duì) r、 ?s R 均適用。 ④換底公式： ),0,1,0,0,0(l ogl ogl og ?????? NmmaaaNN mma 1） 1loglog ?? ab ba ； 2） bmnb ana m loglog ?。 ②函數(shù)圖像： 1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），且圖象都在第一、四象限； 2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以 y 軸為漸近線（當(dāng) 10 ??a 時(shí)，圖象向上無(wú)限接近 y 軸；當(dāng) 1?a時(shí)，圖象向下無(wú)限接近