【正文】 五．思維總結(jié) 1．函數(shù)零點的求法： ①（代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實數(shù)根； ②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。 點評：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類討論的思想。 例 12．已知二 次函數(shù) f x ax bx c( ) ? ? ?2 ，當 ? ? ?1 1x 時，有 ? ? ?1 1f x( ) ，求證：當 ? ? ?2 2x 時，有 ? ? ?7 7f x( ) 解析：由題意知： cbafcfcbaf ???????? )1(,)0(,)1( ， 第 27 頁 共 32 頁 ∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21 fcffbfffa ????????， ∴ f x ax bx c( ) ? ? ?2 ? ?222 1)0(2)1(2)1( xfxxfxxf ?????????? ??????????? ??。 點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程。39。 實際上這是要比較 0x 與 2 的大小 。 )(1xf 0 ，則令 b = 1x （此時零點 ),( 10 xax ? ）； ③若 )(1xf （ 3）函數(shù)周期性 周期為 T ： )()( xfTxf ?? 或 )2()2( TxfTxf ???； （ 4）對稱性 關(guān)于 y 軸對稱： )()( xfxf ?? ； 關(guān)于原點對稱： )()( xfxf ??? ； 關(guān)于直線 ax? 對稱： )()( xafxaf ??? 或 )2()( xafxf ?? ； 關(guān)于點 ),( ba 對稱： )2(2)( xafbxf ??? 或 )()( xafbbxaf ????? 。又 A、 B、 C 在 x 軸上的射影分別是 A′、 B′、 C′ ,記△ AB′ C 的面積為 f(a)，△ A′BC′的面積為 g(a)。 例 12． 畫出函數(shù) y xx? ??3 23 的圖象，試分析其性質(zhì)。 點評：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。 點評：該題考查對圖表表達的函數(shù)的識別和理解能力，要從題目解說入手，結(jié)合圖像和實際解決問題。而當當2??x時，陰影部分的面積等于41圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，232 23)2 2(2)23( ????? ??????f，即點)2 23,23( ??? 在直線 xy? 的上方，故應(yīng)選擇 D。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3．識圖與作圖：對于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。 f(x)新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/y=f(x) ax?? y=f(ax ) （ 3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面 。因此 A 項錯第 7 頁 共 32 頁 誤。 點評：明確函數(shù)圖像在 x 軸上下方與函數(shù)值符號改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負”。 答案：選項為 B。 解析：（Ⅰ）由 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 1 4 )( 7 ) ( 7 ) ( ) ( 1 4 )f x f x f x f x f x f xf x f x f x f x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 第 13 頁 共 32 頁 )10()( ??? xfxf ， 從而知函數(shù) )(xfy? 的周期為 10?T 又 ( 3 ) (1) 0 , ( 7 ) 0f f f? ? ?而， ( 3 ) ( 3 1 0 ) ( 7 ) 0f f f? ? ? ? ? ?，所以 ( 3) (3)ff? ?? 故函數(shù) )(xfy? 是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 ( 3 ) ( 1 ) 0 , ( 11 ) ( 13 ) ( 7 ) ( 9) 0f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? 故 f(x)在 [0,10]和 [－ 10,0]上均有有兩個解， 從而可知函數(shù) )(xfy? 在 [0,20xx]上有 402 個解， 在 [－ ]上有 400 個解 ,所以函數(shù) )(xfy? 在 [－ 20xx,20xx]上有 802 個解。 五．思維總結(jié) 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換。 二分法及步驟： 對于在區(qū)間 a[ ， ]b 上連續(xù)不斷，且滿足 )(af 四．典例解析 題型 1：方程的根與函數(shù)零點 例 1．（ 1）方程 lgx+x=3 的解所在區(qū)間為 （ ） A． (0， 1) B． (1， 2) C． (2， 3) D． (3， +∞ ) （ 2）設(shè) a 為常數(shù)，試討論方程 )lg ()3lg ()1lg ( xaxx ????? 的實根的個數(shù)。 題型 2：零點存在性定理 例 3．（ 20xx 廣東 21） 設(shè)函數(shù) ( ) ln( )f x x x m? ? ?， 其中常數(shù) m 為整數(shù)。 解析：原方程即 023)62ln ( ???? xx 。 題型 6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式 例 11． 設(shè) ? ? ? ?f x ax bx c a? ? ? ?2 0，若 ? ?f 0 1? ， ? ?f 1 1? ， ? ?f － 1 1? , 試證明：對于任意 ? ? ?1 1x ，有 ? ?f x ?54 。 綜上，當21??a時， f(x)最小值為 a?43。 問題轉(zhuǎn)化為： 7221444 ?????? tata a對 0?t 恒成立 . 即 ? ? 014744 2 ????? atta a對 0?t 恒成立 . （ *） 故必有 044 ??aa. （否則，若 044 ??aa，則關(guān)于 t 的 二 次 函 數(shù)? ?14744)( 2 ????? atta atu 開口向下，當 t 充分大時，必有 ?? 0?tu ；而當 044 ??aa時，顯然不能保證（ *）成立 .），此時，由于二次函數(shù) ? ?14744)( 2 ????? atta atu的對稱軸 0847 ???aat，所以，問題等價于 0??t ，即? ????????????????0144447044aa aaa， 解之得： 221 ??a 。 （ 1）二次函數(shù)的一般式 cbxaxy ??? 2 )0( ? 中有三個參數(shù) cba , . 解題的關(guān)鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。 解析： (Ⅰ )設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上任意一點 ? ?00,Q x y關(guān)于原點的對稱點為? ?,Pxy ，則00000, ,2.0,2xxxxy y y y?? ????????? ? ??? ???即 ∵點 ? ?00,Q x y 在函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上 ∴ ? ?2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 故 (Ⅱ )由 ? ? ? ? 21 2 1 0g x f x x x x? ? ? ? ? ?， 可 得 當 1x? 時， 22 1 0xx? ? ? ，此時不等式無解 。 （ 1）若 ? ?2,22 ??? ab，則 ??xf 在 ? ?2,2? 上單調(diào)，故當 ? ?2,2??x 時， ))2(,)2(m a x ()( m a x ffxf ?? ∴ 此時問題獲證 . （ 2）若 ? ?2,22 ??? ab，則當 ? ?2,2??x 時， )2,)2(,)2(m a x()( m a x ?????? ??? abfffxf 又? ? 724 11214 )1()1(202242 2 ?????????????????????? ? ffabfbabcabcabf， ∴ 此時問題獲證。 點評： ①第一步確定零點所在的大致區(qū)間 a( ， )b ，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為 1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點所在區(qū)間 中點函數(shù)值 區(qū)間長度 [1， 2] )(f 0 1 [1， ] )(f 0 [， ] )(f 0 如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。 （ 2） 原方程等價于?????????????????xaxxxaxx)3)(1(00301 即??? ?? ???? 31 352x xxa 構(gòu)造函數(shù) )31(352 ?????? xxxy 和 ay? ，作出它們的圖像，易知平行于 x 軸的直線與拋物線的交點情況可得： ①當 31 ??a 或 413?a 時，原方程有一解； ②當 4133 ??a 時，原方程有兩解； ③當 1?a 或 413?a 時，原方程無解。 注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件 )(af 從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同時也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。 B′ B=B′ B= 1?a 。 再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域 },2|{},3|{ RyyyRxxx ????? 值域，單調(diào)區(qū)間 ( , ) ( , )?? ??3 3和 上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對稱圖形，對稱中心是（ 3，－ 2）。若作圖標準的話，在同一個直角坐標系下畫出這兩個函數(shù)的圖像，由圖知當 10 ??? ?eea 時，圖像的交點個數(shù)為 3 個；當161?a時，圖像的交點個數(shù)為 4 個；當21?a時，圖像的交點個數(shù)為 2個。因此選 B。拋物線方程是 y=a（ x+ ab2 ） 2－224ab ，其頂點坐標為（－ ab2 ，－ ab42 ），又由 0ab 1，可得－ 21 － ab2 ，可選A。其試題不但形式多樣，而且突出考查學生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學思想、能力。 ②對稱變換： Ⅰ、函數(shù) ()y f x??的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 y 軸對稱即可得到 ； y=f(x) 軸y? y=f(?x) Ⅱ、函數(shù) ()y f x?? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 x 軸對稱即可得到 ； y=f(x) 軸x? y= ?f(x) Ⅲ、函數(shù) ()y f x?? ? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于原點對稱即可得到 ； y=f(x) 原點? y= ?f(?x) Ⅳ、函數(shù) )(yfx? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于直線 yx? 對稱得到 。 答案 A。 題型 4：函數(shù)圖象應(yīng)用 例 7． 函數(shù) ()y f x? 與 ()y g x? 的圖像如下圖：則函數(shù) ( ) ( )y f x g x??的圖像可能是（ ） y=f(x)oyxy=g(x)oyx oyxoyxoyxoyx A B C D 解析：∵函數(shù) ( ) ( )y f x g x??的定義域是函數(shù) ()y f x? 與 ()y g x? 的定義域的交集( , 0) (0, )?? ??，圖像不經(jīng)過坐標原點，故可以排除 C、 D。 點評：考察函數(shù)圖像的翻折變換。 f(x2) 找到 問 題的 突 破口 ， 由 f