【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a a a a? ? ? ? ? ? ? 1 1 1( ) 02 2 1 1a a a a? ? ?? ? ? ? ? ∴ f(a)g(a)。 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口，解題思路：圖形面積不第 14 頁(yè) 共 32 頁(yè) 會(huì)拆拼、數(shù)形結(jié)合 、等價(jià)轉(zhuǎn)化。 例 16． 設(shè)曲線 C 的方程是 3y x x??，將 C 沿 x 軸、 y 軸正方向分別平移 t 、 s ( 0)t?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到 曲線 1C ， （ 1）寫出曲線 1C 的方程； （ 2）證明曲線 C 與 1C 關(guān)于點(diǎn) ( , )22tsA對(duì)稱； （ 3）如果曲線 C 與 1C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明： 24tst??新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 解析：（ 1）曲線 1C 的方程為 3( ) ( )y x t x t s? ? ? ? ?； （ 2）證明：在曲線 C 上任意取一點(diǎn) 1 1 1( , )B x y ， 設(shè) 2 2 2( , )B x y 是 1B 關(guān)于點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)，則有 1 2 1 2,2 2 2 2x x t y y s????， ∴ 1 2 1 2,x t x y s y? ? ? ?。 代入曲線 C 的方程，得 22,xy的方程： 32 2 2( ) ( )s y t x t x? ? ? ? ?。 即 32 2 2( ) ( )y x t x t s? ? ? ? ?可知點(diǎn) 2 2 2( , )B x y 在曲線 1C 上 。 反過(guò)來(lái)，同樣證明，在曲線 1C 上的點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)在曲線 C 上 。 因此，曲線 C 與 1C 關(guān)于點(diǎn) A 對(duì)稱 。 （ 3）證明：因?yàn)榍€ C 與 1C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴方程組 33( ) ( )y x xy x t x t s? ???? ? ? ? ? ???有且僅有一組解， 消去 y ，整理得 2 2 33 3 ( ) 0tx t x t t s? ? ? ? ?，這個(gè)關(guān)于 x 的一元二次方程有且僅有一個(gè)根， ∴ 439 12 ( ) 0t t t t s? ? ? ? ? ?，即得 3( 4 4 ) 0t t t s? ? ?， 第 15 頁(yè) 共 32 頁(yè) 因?yàn)?0t? ，所以 34tst??。 點(diǎn)評(píng)：充分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復(fù)合問(wèn)題。 五．思維總結(jié) 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換。 常見(jiàn)的函數(shù)數(shù)字特征有： （ 1）函數(shù)奇偶性： 奇函數(shù) )()( xfxf ??? ； 偶函數(shù) )()( xfxf ?? 。 （ 2）函數(shù)單調(diào)性： 單調(diào)遞增 0)()(2121 ??? xx xfxf 或 0))()()(( 2121 ??? xfxfxx ； 單調(diào)遞增 0)()(2121 ??? xx xfxf 或 0))()()(( 2121 ??? xfxfxx 。 （ 3）函數(shù)周期性 周期為 T ： )()( xfTxf ?? 或 )2()2( TxfTxf ???； （ 4）對(duì)稱性 關(guān)于 y 軸對(duì)稱： )()( xfxf ?? ； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱： )()( xfxf ??? ； 關(guān)于直線 ax? 對(duì)稱： )()( xafxaf ??? 或 )2()( xafxf ?? ； 關(guān)于點(diǎn) ),( ba 對(duì)稱： )2(2)( xafbxf ??? 或 )()( xafbbxaf ????? 。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 6） — 函數(shù) 與方程 一．課標(biāo)要求： 1． 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)第 16 頁(yè) 共 32 頁(yè) 的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系 ； 2． 根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 二．命題走向 函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會(huì)是高考的考點(diǎn)。從近幾年高考的形勢(shì)來(lái)看，十分注重對(duì)三個(gè)“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同時(shí)也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。高考試題中有近一半的 試題與這三個(gè)“二次”問(wèn)題有關(guān)。 預(yù)計(jì) 20xx 年高考對(duì)本講的要求是：以二分法為重點(diǎn)、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來(lái)考察學(xué)生的能力。 （ 1）題型可為選擇、填空和解答； （ 2）高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合題，同時(shí)考察函數(shù)方程的思想。 三．要點(diǎn)精講 1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) （ 1）函數(shù)零點(diǎn) 概念：對(duì)于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使 0)( ?xf 成立的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)))(( Dxxfy ?? 的零點(diǎn)。 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)就是方程 0)( ?xf 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù))(xfy? 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)。 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy 的零點(diǎn)： １）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)； ２）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn) ，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)； ３）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，第 17 頁(yè) 共 32 頁(yè) 并且有 0)()( ?bfaf ，那么函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有零點(diǎn)。既存在 ),( bac? ，使得 0)( ?cf ，這個(gè) c 也就是方程的根。 二分法及步驟： 對(duì)于在區(qū)間 a[ ， ]b 上連續(xù)不斷，且滿足 )(af )(bf 0? 的函數(shù) )(xfy? ，通過(guò)不斷地把函數(shù) )(xf 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度 ? ，用二分法求函數(shù) )(xf 的零點(diǎn)近似值的步驟如下： （ 1）確定區(qū)間 a[ ， ]b ，驗(yàn)證 )(af )(bf 0? ，給定精度 ? ； （ 2）求區(qū)間 a( ， )b 的中點(diǎn) 1x ； （ 3）計(jì)算 )(1xf ： ①若 )(1xf =0 ，則 1x 就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若 )(af )(1xf 0 ，則令 b = 1x （此時(shí)零點(diǎn) ),( 10 xax ? ）； ③若 )(1xf )(bf 0 ，則令 a = 1x （此時(shí)零點(diǎn) ),( 10 bxx ? ）； （ 4）判斷是否達(dá)到精度 ? ； 即若 ??? || ba ，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值 a （或 b ）；否則重復(fù)步驟 2~4。 注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看：即是使 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù) )(xf 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 若函數(shù) )(xf 的圖象在 0xx? 處與 x 軸相切，則零點(diǎn) 0x 通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； 若函數(shù) )(xf 的圖象在 0xx? 處與 x 軸相交，則零點(diǎn) 0x 通常稱為變號(hào)零點(diǎn)。 注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件 )(af )(bf 0? 表明用二分法求第 18 頁(yè) 共 32 頁(yè) 函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。 3． 二次函數(shù)的基本性質(zhì) （ 1）二次函數(shù)的三種表示法 ： y=ax2+bx+c； y=a(x－ x1)(x－ x2)； y=a(x－ x0)2+n。 （ 2）當(dāng) a0， f(x)在區(qū)間［ p， q］上的最大值 M，最小值 m，令 x0=21 (p+q)。 若－ab2p，則 f(p)=m， f(q)=M； 若 p≤－ab2x0，則 f(－ab2)=m， f(q)=M； 若 x0≤－ab2q，則 f(p)=M， f(－ab2)=m； 若－ab2≥ q，則 f(p)=M， f(q)=m。 （ 3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的實(shí)根分布及條件 。 ①方程 f(x)=0 的兩根中一根比 r 大，另一根比 r 小 ? a f(r)0； ②二次方程 f(x)=0 的兩根都大于 r????????????????0)(,2,042rfarabacb ③二次方程 f(x)=0 在區(qū)間 (p， q)內(nèi)有兩根?????????????????????。0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb ④二次方程 f(x)=0 在區(qū)間 (p， q)內(nèi)只有一根 ? f(p) f(q)0，或 f(p)=0(檢驗(yàn) )或 f(q)=0(檢驗(yàn) )檢驗(yàn)另一根若在 (p， q)內(nèi)成立 。 四．典例解析 題型 1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn) 例 1．（ 1）方程 lgx+x=3 的解所在區(qū)間為 （ ） A． (0， 1) B． (1， 2) C． (2， 3) D． (3， +∞ ) （ 2）設(shè) a 為常數(shù)，試討論方程 )lg ()3lg ()1lg ( xaxx ????? 的實(shí)根的個(gè)數(shù)。 解析： （ 1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù) y=lgx 與 y=x+3的圖象 (如圖 )。 它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo) 0x ，顯然在區(qū)間 (1， 3)內(nèi)，由此可排除 A， D新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/至于選 B 還是選 C，由于畫圖精確性的限制，x0321321oyx第 19 頁(yè) 共 32 頁(yè) 單憑直觀就比較困難了 。 實(shí)際上這是要比較 0x 與 2 的大小 。 當(dāng) x=2 時(shí)， lgx=lg2， 3x=1。由于 lg2＜ 1，因此 0x ＞ 2，從而判定 0x ∈ (2， 3)，故本題應(yīng)選 C。 （ 2） 原方程等價(jià)于?????????????????xaxxxaxx)3)(1(00301 即??? ?? ???? 31 352x xxa 構(gòu)造函數(shù) )31(352 ?????? xxxy 和 ay? ，作出它們的圖像，易知平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得： ①當(dāng) 31 ??a 或 413?a 時(shí)，原方程有一解； ②當(dāng) 4133 ??a 時(shí)，原方程有兩解； ③當(dāng) 1?a 或 413?a 時(shí)，原方程無(wú)解。 點(diǎn)評(píng)：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。 本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程 lgx+x=3 解所在的區(qū)間 。 數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫 。 不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算 0x 的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷 。 例 2．（ 20xx 廣東 19） 設(shè)函數(shù) ()fx 在 ( , )???? 上滿足 (2 ) (2 )f x f x? ? ?，(7 ) (7 )f x f x? ? ?，且在閉區(qū)間［ 0， 7］上，只有 (1) (3) 0ff??。 （Ⅰ）試判斷函數(shù) ()y f x? 的奇偶性； （Ⅱ）試求方程 ()fx=0 在閉區(qū)間［－ 20xx， 20xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 解析：由 f(2－ x)=f(2+x),f(7－ x)=f(7+x)得函數(shù) )(xfy? 的對(duì)稱軸為 72 ?? xx 和 , 從而知函數(shù) )(xfy? 不是奇函數(shù) , 創(chuàng)造的有高級(jí)的圖表的試驗(yàn)版本 25?xay?第 20 頁(yè) 共 32 頁(yè) 由 )14()4()14()( )4()()7()7(