高中數(shù)學第二章第9節(jié)函數(shù)與方程(編輯修改稿)
2025-07-14 17:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 － x在 (0,1)內(nèi)不存在零點 . 函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法： (1)直接求零點：令 f(x)＝ 0，如果能求出解，則有幾個解就 有幾個零點 . (2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在 [a， b]上 是連續(xù)的曲線，且 f(a)f(b)＜ 性質(zhì) (如單調(diào)性 )才能確定函數(shù)有多少個零點 . (3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點 的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點 . 判斷函數(shù) f(x)＝ 4x＋ x2－ x3在區(qū)間 [－ 1,1]上零點的個數(shù)，并說明理由 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] ∵ f(－ 1)＝－ 4＋ 1＋ ＝－ ＜ 0， f(1)＝ 4＋ 1－ ＝ ＞ 0， ∴ f(x)在區(qū)間 [－ 1,1]上有零點 . 又 f′(x)＝ 4＋ 2x－ 2x2＝ － 2(x－ )2， 當－ 1≤x≤1時， 0≤f′(x)≤ ， ∴ f(x)在 [－ 1,1]上是單調(diào)遞增函數(shù)， ∴ f(x)在 [－ 1,1]上有且只有一個零點 . 函數(shù)零點的求法有兩種：代數(shù)法和幾何法 .代數(shù)法即求方程 f(x)＝ 0的實數(shù)根；但當有些方程無法求實根時，就要用幾何法，即將它與函數(shù) y＝ f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點 . 求下列函數(shù)的零點： (1)f(x)＝ x3－ 2x2－ x＋ 2； (2)f(x)＝ x－ [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)由 x3－ 2x2－ x＋ 2＝ 0， 得 x2(x－ 2)－ (x－ 2)＝ 0， ∴ (x－ 2)(x－ 1)(x＋ 1)＝ 0， ∴ x＝ 2或 x＝ 1或 x＝－ 1. 故函數(shù) f(x)的零點是 2,1，－ 1. (2)由 x－ ＝ 0， 得 ＝ 0， ∴ ＝ 0， ∴ (x－ 2)(x＋ 2)＝ 0. ∴ x＝ 2或 x＝－ 2. 故函數(shù) f(x)的零點是 2或－ 2. 判斷函數(shù)零點的存在性以及函數(shù)零點的個數(shù)是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法 .09年廣東高考將函數(shù)的零點與二次函數(shù)、導數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合考查了函數(shù)零點的應用，是一個新的考查方向 . [考題印證 ] (2022廣東高考 )(12分 )已知二次函數(shù) y＝ g(x)的導函數(shù)的圖象與直線 y＝ 2x平行，且 y＝ g(x)在 x＝－ 1處取得極小值 m－ 1(m≠0).設(shè) f(x)＝ ， (1)若曲線 y＝ f(x)上的點 P到點 Q(0,2)的距離的最小值為 2，求 m的值； (2)k(k∈ R)如何取值時，函數(shù) y＝ f(x)－ kx存在零點，并求出零點 . 【 解 】 ∵ y＝ g′(x)＝ 2ax＋ b的圖象與直線 y＝ 2x平行， ∴ a＝ 1. 又 ∵ y＝ g(x)在 x＝－ 1處取得極小值 m－ 1， ∴ － ＝－ 1， g(－ 1)＝ a(－ 1)2＋ b(－ 1)＋ c＝ m－ 1， 所以 b＝ 2， c＝ f(x)＝ ＋ x＋ 2.┄ (2分 ) (1)已知 m≠0，設(shè)曲線 y＝ f(x)上點 P的坐標為 P(x， y)，則點
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