【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n=lg(bn)(n∈ N*),若 a 取 (2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列 {Cn}前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由。 解： (1)由題意知： an=n+21,∴ bn=20xx(10a) 21?n 。 (2)∵函數(shù) y=20xx(10a)x(0a10)遞減， ∴對(duì)每個(gè)自然數(shù) n,有 bnbn+1bn+2。 則以 bn,bn+1,bn+2 為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是 bn+2+bn+1bn， 即 (10a)2+(10a)－ 10， 解得 a－ 5(1+ 2 )或 a5( 5 － 1)。 ∴ 5( 5 － 1)a10。 第 13 頁(yè) 共 31 頁(yè) (3)∵ 5( 5 － 1)a10，∴ a=7 ∴ bn=20xx(107) 21?n 。數(shù)列 {bn}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列， 對(duì)每個(gè)自然數(shù) n≥ 2,Bn=bnBn－ 1。 于是當(dāng) bn≥ 1 時(shí)， BnBn－ 1，當(dāng) bn1 時(shí)， Bn≤ Bn－ 1， 因此數(shù)列 {Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21?n ≥ 1 得： n≤ 20。 ∴ n=20。 點(diǎn)評(píng)：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù) 函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問(wèn)題。 例 16． 已知函數(shù) 1,0)((l o g)( ???? aaxaxxf a 為常數(shù)） （ 1）求函數(shù) f(x)的定義域； （ 2）若 a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù) f(x)的單調(diào)性。 （ 3）若函數(shù) y=f(x)是增函數(shù)，求 a 的取值范圍。 解： （ 1）由 axxxax ??? 得0 ∵ a＞ 0， x≥ 0 222 10 axxaxx ????? ??? ∴ f(x)的定義域是 ),1(2 ??? ax。 （ 2）若 a=2，則 )2(lo g)( 2 xxxf ?? 設(shè)4121 ??xx ， 則 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211 ???????????? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ?? 故 f(x)為增函數(shù)。 第 14 頁(yè) 共 31 頁(yè) （ 3）設(shè) 1121221 ???? xaxaaxx 則 0]1)()[()()()()( 212121212211 ????????????? xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax ???? ① ∵ f(x)是增函數(shù)， ∴ f(x1)＞ f(x2) 即 )(lo g)(lo g 2211 xaxxax aa ??? ② 聯(lián)立①、②知 a＞ 1， ∴ a∈ (1， +∞ )。 點(diǎn)評(píng)： 該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。 題型 9：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 17． 對(duì)于在區(qū)間 ? ?nm, 上有意義的兩個(gè)函數(shù) f(x)與 g(x)，如果對(duì)任意的 ?x ? ?nm, ，均有 1)()( ?? xgxf ，則稱 f(x)與 g(x)在 ? ?nm, 上是接近的，否則稱 f(x)與 g(x)在 ? ?nm, 上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù) )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a，給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 。 （ 1）若 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上都有意義，求 a 的取值范圍； （ 2）討論 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是否是接近的。 解：（ 1）兩個(gè)函數(shù) )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 有意義，因?yàn)楹瘮?shù) axy 3?? 給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上單調(diào)遞增，函數(shù)在axy ?? 1給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上恒為正數(shù)， 故有意義 當(dāng)且僅當(dāng) 1003)2(10?????????????aaaaa ； （ 2）構(gòu)造函數(shù) )3)((l o g)()()( 21 axaxxfxfxF a ????? ， 第 15 頁(yè) 共 31 頁(yè) 對(duì)于函數(shù) )3)(( axaxt ??? 來(lái)講， 顯然其在 ]2,( a?? 上單調(diào)遞減，在 ),2[ ??a 上單調(diào)遞增。 且 ty alog? 在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。 由于 10 ??a ，得 2220 ???? aa 所以原函數(shù)在區(qū)間 ]3,2[ ?? aa 內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證 ??? ???? ???? 1|)23(3log||)3(| 1|)1(4log||)2(| aaF aaFaa ?????????????aaaaa1)23(31)1(4 當(dāng)125790 ??? a時(shí)， )(1xf 與 )(2 xf 在區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是接近的； 當(dāng)12579??a時(shí)， )(1xf 與 )(2 xf 在區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是非接近的。 點(diǎn)評(píng)： 該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問(wèn)題，解不等式即可。 例 18．設(shè) 1x? ， 1y? ，且 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?，求 224T x y?? 的最小值 。 解：令 logxty? ， ∵ 1x? ， 1y? ，∴ 0t? 。 由 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?得 22 3 0tt? ? ?，∴ 22 3 2 0tt? ? ? ， ∴ (2 1)( 2) 0tt? ? ?，∵ 0t? ，∴ 12t?，即 1log2x y?，∴ 12yx? ， ∴ 2 2 2 24 4 ( 2) 4T x y x x x? ? ? ? ? ? ?， 第 16 頁(yè) 共 31 頁(yè) ∵ 1x? ，∴當(dāng) 2x? 時(shí)， min 4T ?? 。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問(wèn)題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。 五．思維總結(jié) 1． bNNaaN abn ??? lo g, （其中 1,0,0 ??? aaN ）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算 .在運(yùn)算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底； 2．要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)； 3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)； 4．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)（上面知識(shí)結(jié)構(gòu)表中的 12 個(gè)小點(diǎn)）是解決含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的問(wèn)題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識(shí)，要達(dá)到滾瓜爛熟，運(yùn)用自如的水平，在使用時(shí)常常還要結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的討論問(wèn)題是重點(diǎn)題型，解決這類問(wèn)題的最基本的分類方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分類； 6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問(wèn)題等等，因此要努力提高綜合能力。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 5） — 函數(shù)圖象及數(shù)字特征 一．課標(biāo)要求： 1．掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對(duì)稱變換 、翻折變換、伸縮變換等； 3．識(shí)圖與作圖：對(duì)于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問(wèn)題； 4． 通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù) 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?的圖像，了解它們的變化情況 。 二．命題走向 函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、第 17 頁(yè) 共 31 頁(yè) 分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。 從歷年高考形勢(shì)來(lái)看： （ 1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題的能力， 會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函 數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問(wèn)題 ； （ 2）函數(shù)綜合問(wèn)題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來(lái)考察； （ 3）與冪函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題主要以 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題； 預(yù)測(cè) 07 年高考函數(shù)圖象：（ 1）題型為 1 到 2 個(gè)填空選擇題；（ 2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題等方面出題； 函數(shù)綜合問(wèn)題：（ 1）題型為 1 個(gè)大題；（ 2）題目多以知識(shí)交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用； 冪函數(shù)：?jiǎn)为?dú)出題的可能性很小，但一些具體問(wèn)題甚至是一些大題的小過(guò)程要應(yīng)用其 性質(zhì)來(lái)解決； 三．要點(diǎn)精講 1．函數(shù)圖象 （ 1）作圖方法： 以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本 講座 的重點(diǎn) 。 作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象 。 運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/這就要求對(duì)所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究 。 而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換 ， 這也是個(gè)難點(diǎn) 。 （ 2）三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等等 ； ①平移變換： Ⅰ、水平平移：函數(shù) ()y f x a??的圖像可以把函數(shù) ()y f x? 的圖像沿 x 軸方向向左 ( 0)a? 或向右 ( 0)a? 平移 ||a 個(gè)單位即可得到 ； 1） y=f(x) h左移? y=f(x+h)； 2） y=f(x) h右移? y=f(x?h)； Ⅱ 、豎直平移：函數(shù) ()y f x a??的圖像可以把函數(shù) ()y f x? 的圖像沿 x 軸方向向第 18 頁(yè) 共 31 頁(yè) 上 ( 0)a? 或向下 ( 0)a? 平移 ||a 個(gè)單位即可得到 ； 1） y=f(x) h上移? y=f(x)+h； 2） y=f(x) h下移? y=f(x)?h新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/。 ②對(duì)稱變換： Ⅰ、函數(shù) ()y f x??的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱即可得到 ； y=f(x) 軸y? y=f(?x) Ⅱ、函數(shù) ()y f x?? 的 圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 x 軸對(duì)稱即可得到 ；