20xx高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專(zhuān)題(編輯修改稿)
2025-05-01 02:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 任意x∈R成立，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．f(k3)＜f(392)=f(3+9+2)， k3＜3+9+2，3(1+k)3+2＞0對(duì)任意x∈R成立．令t=3＞0，即t(1+k)t+2＞0對(duì)任意t＞0恒成立．故：對(duì)任意x∈R恒成立。說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t(1+k)t+2對(duì)于任意t＞0恒成立．對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．本題還有更簡(jiǎn)捷的解法：分離系數(shù)由k3＜3+9+2得要使對(duì)不等式恒成立，只需k練習(xí)：已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的函數(shù)a,b都滿足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論。(3)若f(2)=2,un=f(2n) (n∈N*),求證:un+1un (n∈N*).解:(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0。(2)、令a=b=1,得f[(1)(1)]=f(1)f(1),f(1)=0,故f(x)=f[(1)(x)]= f(x)+xf(1)= f(x),故f(x)為奇函數(shù). (3)先用數(shù)學(xué)歸納法證明:un=f(2n)0 (n∈N*)(略)2. 定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＜0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在[3，3）上總有f(x)≤6成立，試確定f(1)應(yīng)滿足的條件；解:（2）設(shè)任意x1，x2∈R且x1＜x2，則x2x1＞0，∴f（x2x1）＜0,而f（x2x1）= f（x2）+ f（x1）= f（x2）f（x1）0；∴f(x1)＞f(x2),即f(x)在(∞，+∞)上是減函數(shù).∴f(x)在[3，3]上的最大值為f(3).要使f(x)≤6恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) f(3)≤6，又∵f（3）= f（3）= f（2+1）=[ f（2）+ f（1）]= [ f（1）+ f（1）+ f（1）]= 3 f（1），∴f（1）≥2.（3） f（ax2） f（x）＞ f（a2x） f（a） f（ax2） f（a2x）＞n[f（x） f（a）] f（ax2a2x）＞nf（xa），由已知得：f[n（xa）]=nf（xa）∴f（ax2a2x）＞f[n（xa）]∵f（x）在（∞，+∞）上是減函數(shù)∴ax2a2x＜n（xa）.即（xa）（axn）＜0，∵a＜0，∴（xa）（x）＞0，討論：（1）當(dāng)a＜＜0，即a＜時(shí)，原不等式解集為{x | x＞或x＜a}；（2）當(dāng)a=＜0即a=時(shí)，原不等式的解集為φ；（3）當(dāng)＜a＜0時(shí)，即＜a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x | x＞a或x＜已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0時(shí)，有＞0.(1)判斷函數(shù)f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)解不等式：f(x+)＜f()。(3)若f(x)≤m2－2pm+1對(duì)所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常數(shù)）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍..解：（1）設(shè)任意x1,x2∈［－1,1］,且x1(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1). 因?yàn)閤1x2,所以x2+(－x1)≠0,由已知有＞0，∵x2+(－x1)=x2－x10，∴f(x2)+f(－x1)0,即f(x2)f(x1),所以函數(shù)f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)。（2）由不等式f(x+)＜f()得,解得－1x0,即為所求. （3）由以上知f(x)最大值為f(1)=1,所以要f(x)≤m2－2pm+1對(duì)所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常數(shù))恒成立，只需1≤m2－2pm+1恒成立，得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤0或m≥2p. 七、周期性與對(duì)稱性問(wèn)題（由恒等式簡(jiǎn)單判斷：同號(hào)看周期，異號(hào)看對(duì)稱）編號(hào)周 期 性對(duì) 稱 性1→T=2→對(duì)稱軸219。是偶函數(shù)；→對(duì)稱中心（a,0）219。是奇函數(shù)2→T=→對(duì)稱軸；→對(duì)稱中心；3f(x)= f(x+a)→T=2f(x)= f(x+a)→對(duì)稱中心4→T=2→對(duì)稱中心5f(x)=177?！鶷=2f(x)= bf(x+a)→對(duì)稱中心6f(x)=1→T=3結(jié)論：(1) 函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|ab| (2) 函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|ab| (3) 函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=4|ab| (4) 應(yīng)注意區(qū)分一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性和兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性的區(qū)別:y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于對(duì)稱；y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 （可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為：一個(gè)函數(shù)的恒等式，對(duì)應(yīng)法則下的兩式相加和的一半為對(duì)稱軸：兩個(gè)同法則不同表達(dá)式的函數(shù)，對(duì)應(yīng)法則下的兩式相減等于0，解得的x為對(duì)稱軸）例17：①已知定義在R上的奇函數(shù)f (x)滿足f (x+2) = – f (x)，則f (6)的值為（ B ）A. –1 B. 0 C. 1 D. 2解： 因?yàn)閒 (x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。②函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(1+2x)=f(12x)，則f(2x)的圖像關(guān)于 對(duì)稱。（x=1/2）（重慶）已知函數(shù)滿足：，則=_____________.解析：取x=1 y=0得 法一：通過(guò)計(jì)算，尋得周期為6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)，聯(lián)立得f(n+2)= —f(n1) 所以T=6 故=f(0)= 例18. 已知函數(shù)y=f(x)滿足，求的值。解：由已知式知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1001）對(duì)稱。據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y=f1(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（1001，0）對(duì)稱,所以,即=0 例19. 奇函數(shù)f (x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T 0，恒有f (x + T ) = f (x)，則在區(qū)間［0，2T］上，方程f (x) = 0根的個(gè)數(shù)最小值為（ ） A. 3個(gè)
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