【正文】 五．思維總結(jié) 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換。 點評：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口，解題思路：圖形面積不會拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化。 解析：（Ⅰ）由 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 1 4 )( 7 ) ( 7 ) ( ) ( 1 4 )f x f x f x f x f x f xf x f x f x f x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? )10()( ??? xfxf ， 從而知函數(shù) )(xfy? 的周期為 10?T 又 ( 3 ) (1) 0 , ( 7 ) 0f f f? ? ?而， ( 3 ) ( 3 1 0 ) ( 7 ) 0f f f? ? ? ? ? ?，所以 ( 3) (3)ff? ?? 故函數(shù) )(xfy? 是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 ( 3 ) ( 1 ) 0 , ( 11 ) ( 13 ) ( 7 ) ( 9) 0f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? 故 f(x)在 [0,10]和 [－ 10,0]上均有有兩個解， 從而可知函數(shù) )(xfy? 在 [0,20xx]上有 402 個解， 第 29 頁 共 31 頁 在 [－ ]上有 400 個解 ,所以函數(shù) )(xfy? 在 [－ 20xx,20xx]上有 802 個解。注意此題兩個增區(qū)間之間不能用 并集號 ? 。 答案：選項為 B。 點評：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。 點評：明確函數(shù)圖像在 x 軸上下方與函數(shù)值符號改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負(fù)”。 例 6． （ 05 廣東理 9） 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù) )(xfy? 和 )(xgy? 的圖象關(guān)于直線 xy? 對稱。因此 A 項錯誤。故選 A。 f(x)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/y=f(x) ax?? y=f(ax ) （ 3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面 。 從歷年高考形勢來看： （ 1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力， 會利用函數(shù)圖象，進一步研究函 數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題 ； （ 2）函數(shù)綜合問題多以知識交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察； （ 3）與冪函數(shù)有關(guān)的問題主要以 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實際問題； 預(yù)測 07 年高考函數(shù)圖象：（ 1）題型為 1 到 2 個填空選擇題；（ 2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問題等方面出題； 函數(shù)綜合問題：（ 1）題型為 1 個大題；（ 2）題目多以知識交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用； 冪函數(shù)：單獨出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應(yīng)用其 性質(zhì)來解決； 三．要點精講 1．函數(shù)圖象 （ 1）作圖方法： 以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本 講座 的重點 。同時考察了學(xué)生的變形能力。 解：（ 1）兩個函數(shù) )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 有意義，因為函數(shù) axy 3?? 給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上單調(diào)遞增，函數(shù)在axy ?? 1給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上恒為正數(shù)， 故有意義 當(dāng)且僅當(dāng) 1003)2(10?????????????aaaaa ； （ 2）構(gòu)造函數(shù) )3)((l o g)()()( 21 axaxxfxfxF a ????? ， 第 15 頁 共 31 頁 對于函數(shù) )3)(( axaxt ??? 來講， 顯然其在 ]2,( a?? 上單調(diào)遞減，在 ),2[ ??a 上單調(diào)遞增。 例 16． 已知函數(shù) 1,0)((l o g)( ???? aaxaxxf a 為常數(shù)） （ 1）求函數(shù) f(x)的定義域； （ 2）若 a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù) f(x)的單調(diào)性。 (2)∵函數(shù) y=20xx(10a)x(0a10)遞減， ∴對每個自然數(shù) n,有 bnbn+1bn+2。 （ 1）求點 D 的坐標(biāo)； （ 2）當(dāng)△ ABC 的面積大于 1 時 , 求實數(shù) a 的取值范圍。故 a 的取值范圍為 {2}。 點評：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義。特別是分 10,1 ??? aa 兩種情況來處理。 例 8．已知 )1,0()( l o g 1 ???? ? aaxxxf a 且試求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間。 例 6．（ 20xx 遼寧 文 13） 方程 22log ( 1 ) 2 log ( 1 )xx? ? ? ?的解為 。 解：（ 1） 原式 22( l g 2 ) ( 1 l g 5 ) l g 2 l g 5 ( l g 2 l g 5 1 ) l g 2 2 l g 5? ? ? ? ? ? ? ? (1 1 ) l g 2 2 l g 5 2( l g 2 l g 5 ) 2? ? ? ? ? ?； （ 2） 原式 l g 2 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2 l g 2 l g 3 l g 3( ) ( ) ( ) ( )l g 3 l g 9 l g 4 l g 8 l g 3 2 l g 3 2 l g 2 3 l g 2? ? ? ? ? ? ? ? 3 lg 2 5 lg 3 52 lg 3 6 lg 2 4? ? ?； （ 3）分子 = 3)2lg5( l g2lg35lg3)2( l g3)2lg33(5lg 2 ?????? ； 分母 = 41006lg26lg101100036lg)26(l g ???????； ?原式 = 43 。 ②函數(shù)圖像： 1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（ 0， 1），且圖象都在第一、四象限； 2）對數(shù)函數(shù)都以 y 軸為漸近線（當(dāng) 10 ??a 時，圖象向上無限接近 y 軸；當(dāng) 1?a時，圖象向下無限接近 y 軸）； 4）對于相同的 )1,0( ?? aaa 且 ，函數(shù) xyxyaa 1loglog ?? 與的圖象關(guān)于 x 軸對稱。 （注）上述性質(zhì)對 r、 ?s R 均適用。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進行變形處理。 2． 對數(shù)函數(shù) （ 1）理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用； （ 2）通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點； 3．知道指數(shù)函數(shù) xay? 與對數(shù)函數(shù) xy alog? 互為反函數(shù)（ a＞ 0， a≠ 1）。 ②性質(zhì)： 1） aa nn ?)( ； 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時， aan n ? ； 3）當(dāng) n 為偶數(shù)時，??? ?? ??? )0( )0(|| aaaaaan。 2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) （ 1）指數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 稱指數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域為 R； 2）函數(shù)的值域為 ),0( ?? ； 3）當(dāng) 10 ??a 時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) 1?a 時函數(shù)為增函數(shù)。 解：∵ 11223xx???， ∴ 11222( ) 9xx???， ∴ 129xx?? ? ? ， ∴ 1 7xx???， ∴ 12( ) 49xx???， 第 6 頁 共 31 頁 ∴ 2247xx???， 又∵ 3 3 1 1 12 2 2 2( ) ( 1 ) 3 ( 7 1 ) 1 8x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 2233222 4 7 2 31 8 33xxxx??? ? ??????。 題型 3：指數(shù)、對數(shù)方程 例 5． 設(shè)關(guān)于 x 的方程 ???? ? bbxx (024 1 R） ， （ 1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù) b 的取值范圍； （ 2）當(dāng)方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。 點評：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。 （ 2 ）當(dāng) 0a1 時，由 210 xx ?? ，有 210 xx aa ?? ， 121 ??xxa ，所以0)()( 12 ?? xfxf ，即 f(x)在 [0， +∞ ]上單調(diào)遞增。 解：由于 2xy? 是增函數(shù)， ( ) 2 2fx? 等價于 3| 1 | | 1 |2xx? ? ? ? ① 1)當(dāng) 1x? 時， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ?， ?①式恒成立； 2)當(dāng) 11x? ? ? 時， | 1 | | 1 | 2x x x? ? ? ?， ①式化為 322x?，即 3 14 x??； 3)當(dāng) 1x?? 時， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ? ?， ①式無解； 綜上 x 的取值范圍是 3,4????????。 值域為 R： ?21log值 域為 R ?? 至少取遍所有的正實數(shù)， 則 0)3(4 2 ???? a ，解得實數(shù) a 的取值范圍為 ),3[]3,( ?????? 。 題型 7：對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 例 13． 當(dāng) a1 時，函數(shù) y=logax 和 y=(1－ a)x 的圖象只可能是 ( ) A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx 解：當(dāng) a1 時，函數(shù) y=logax 的圖象只能在 A 和 C 中選， 又 a1 時， y=(1－ a)x 為減函數(shù)。 題型 8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題 例 15． 在 xOy 平面上有一點列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),? ,Pn(an,bn)?，對每個自然數(shù) n 點Pn 位于函數(shù) y=20xx(10a)x(0a1)的圖象上，且點 Pn,點 (n,0)與點 (n+1,0)構(gòu)成一個以 Pn 為頂點的等腰三角形。 于是當(dāng) bn≥ 1 時， BnBn－ 1，當(dāng) bn1 時， Bn≤ Bn－ 1， 因此數(shù)列 {Bn}的最大項的項數(shù) n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21?n ≥ 1 得： n≤ 20。 點評： 該題屬于純粹的研究復(fù)合對函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對“路”處理即可。 解：令 logxty? ， ∵ 1x? ， 1y? ，∴ 0t? 。 二．命題走向 函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識占有極其重要的地位。 ②對稱變換： Ⅰ、函數(shù) ()y f x??的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 y 軸對稱即可得到 ； y=f(x) 軸y? y=f(?x) Ⅱ、函數(shù) ()y f x?? 的 圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 x 軸對稱即可得到 ； y=f(x) 軸x? y= ?f(x) Ⅲ、函數(shù)