【導(dǎo)讀】量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；3．知道指數(shù)函數(shù)xay?從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多。以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題；2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大。Nnna且，則這個(gè)數(shù)稱a的n次方根。1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，na的次方根記作na；1）以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，N10log記作Nlg；ee為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，Nelog，記作Nln；aaayx且稱指數(shù)函數(shù)，aaxya且稱對(duì)數(shù)函數(shù)，

　　

【正文】 f a f b? ，則 ab 的取值范圍是 （ ） A． (0,2) B． (0,2] C． (0,4] D． (0, 2) 解析：保留函數(shù) 22 xy ?? 在 x 軸上方的圖像，將其在 x 軸下方的圖像翻折到 x 軸上方區(qū)即可得到函數(shù) 2( ) | 2 |f x x?? 的圖像。 通過(guò)觀察圖像，可知 ()fx在區(qū)間 ( , 2]??? 上是減函數(shù)，在區(qū)間 [ 2,0]? 上是增函數(shù)，由 0ab?? ，且 ( ) ( )f a f b? 可知 20ab?? ? ? ，所以 2( ) 2f a a??， 2( ) 2f b b?? ，從而 2222ab??? ，即 224ab??，又 222 | | 4ab a b? ? ?，所以 02ab??。選項(xiàng)為 A。 點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)圖像的翻折變 換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡(jiǎn)到繁的原則，通過(guò)研究函數(shù)22 xy ?? 的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而得到 2( ) | 2 |f x x?? 的圖像和性質(zhì)。 題型 6：冪函數(shù)概念及性質(zhì) 例 11． 函數(shù) nmxy? |||,|,0,( nmmZnm ??互質(zhì)）圖像如圖所示，則（ ） O x y 第 26 頁(yè) 共 31 頁(yè) A． nmmn ,0? 均為奇數(shù) B． nmmn ,0? 一奇一偶 C． nmmn ,0? 均為奇數(shù) D． nmmn ,0? 一奇一偶 解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢(shì)表明函數(shù)在),0( ?? 上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證 0?nm ，即 0?mn ，有 || ||nmnm xxy ??? ；同時(shí)函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?),0( ?? ，此時(shí) ||n 定為偶數(shù) ， n 即為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則 m 定為奇數(shù)。 答案：選項(xiàng)為 B。 點(diǎn)評(píng)：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù) ?xy? 在 1,10,0 ???? ??? 幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情形下 ? 取不同數(shù)值對(duì)函數(shù)圖像的影響也要了解。 例 12． 畫(huà)出函數(shù) y xx? ??3 23的圖象，試分析其性質(zhì)。 解析： 先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來(lái)的，它應(yīng)是由反 比 例 函 數(shù) 平 移 而 來(lái) ，y xx xx? ?? ? ? ? ??3 23 2 3 33( )?? ? ?3 3 2x （這種變換是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵），由此說(shuō)明， y xx? ??3 23是由 yx??3圖象向右平移 3 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位得到的，如圖所示：具體畫(huà)圖時(shí)對(duì)于圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即 ????? xyyx ,0,1,0 32。故圖象一定過(guò)（ 0，－ 1）和320,??? ??? 兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。 再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域 },2|{},3|{ RyyyRxxx ????? 值域， 第 27 頁(yè) 共 31 頁(yè) 單調(diào)區(qū)間 ( , ) ( , )?? ??3 3和 上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是（ 3，－ 2）。 點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)xy 1?的圖象與性質(zhì)是解決該類(lèi)問(wèn)題基礎(chǔ)。注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能用 并集號(hào) ? 。 題型 7：抽象函數(shù)問(wèn)題 例 13．函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?D ： }0|{ ?xx 且滿足對(duì)于任意 Dxx ?21, ，有).()()( 2121 xfxfxxf ??? （Ⅰ）求 )1(f 的值； （Ⅱ）判斷 )(xf 的奇偶性并證明； （Ⅲ）如果 ),0()(,3)62()13(,1)4( ??????? 在且 xfxfxff 上是增函數(shù)， 求 x的取值范圍 。 （Ⅰ）解：令 .0)1(),1()1()11(,121 ?????? ffffxx 解得有 （Ⅱ）證明：令 121,xx? ?? [ ( 1 ) ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) 0f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ?有 解 得 令 ).()(),()1()(,1 21 xfxfxffxfxxx ?????????? 有 ∴ )(xf 為偶函數(shù) 。 （Ⅲ） .3)4()16()416(,2)4()4()44( ???????? ffffff ∴ )64()]62)(13[(3)62()13( fxxfxfxf ??????? 即 （ 1） ∵ ),0()( ??在xf 上是增函數(shù)， ∴（ 1）等價(jià)于不等式組： ??? ???? ?????? ??? ??? .64)62)(13( ,0)62)(13(,64)62)(13( ,0)62)(13( xxxxx xx 或 第 28 頁(yè) 共 31 頁(yè) ??????????????????????Rxxxxx ,331,537,313或或 ∴ .331313753 ????????? xxx 或或 ∴ x 的取值范 圍為 }.533313137|{ ????????? xxxx 或或 點(diǎn)評(píng)：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件 f(x1+x2) ＝ f(x1) f(x2) 找到 問(wèn) 題的 突 破口 ， 由 f(x1+x2)=f(x1) f(x2) 變形為( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x x x xf x f f f? ? ? ?是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 例 14 ．（ 20xx 廣東 19 ） 設(shè) 函 數(shù) ),()( ????在xf 上滿足)7()7(),2()2( xfxfxfxf ?????? ，且在閉區(qū)間 [0， 7]上，只有 .0)3()1( ?? ff （Ⅰ）試判斷函數(shù) )(xfy? 的奇偶性； （Ⅱ）試求方程 0)( ?xf 在閉區(qū)間 [－ 20xx， 20xx]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 解析：（Ⅰ）由 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 1 4 )( 7 ) ( 7 ) ( ) ( 1 4 )f x f x f x f x f x f xf x f x f x f x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? )10()( ??? xfxf ， 從而知函數(shù) )(xfy? 的周期為 10?T 又 ( 3 ) (1) 0 , ( 7 ) 0f f f? ? ?而， ( 3 ) ( 3 1 0 ) ( 7 ) 0f f f? ? ? ? ? ?，所以 ( 3) (3)ff? ?? 故函數(shù) )(xfy? 是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 ( 3 ) ( 1 ) 0 , ( 11 ) ( 13 ) ( 7 ) ( 9) 0f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? 故 f(x)在 [0,10]和 [－ 10,0]上均有有兩個(gè)解， 從而可知函數(shù) )(xfy? 在 [0,20xx]上有 402 個(gè)解， 第 29 頁(yè) 共 31 頁(yè) 在 [－ ]上有 400 個(gè)解 ,所以函數(shù) )(xfy? 在 [－ 20xx,20xx]上有 802 個(gè)解。 點(diǎn)評(píng)：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來(lái)解題。 題型 8：函數(shù)圖象綜合問(wèn)題 例 15．如圖，點(diǎn) A、 B、 C 都在函數(shù) y= x 的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是 a、 a+a+2。又 A、 B、 C 在 x 軸上的射影分別是 A′、 B′、 C′ ,記△ AB′ C 的面積為 f(a)，△ A′BC′的面積為 g(a)。 （ 1）求函數(shù) f(a)和 g(a)的表達(dá)式； （ 2）比較 f(a)與 g(a)的大小，并證明你的結(jié)論。 解 ： (1)連結(jié) AA′、 BB′、 CC′ , 則 f(a)=S△ AB′ C=S 梯形 AA′ C′ C－ S△ AA′ B′ － S△ CC′ B =21(A′ A+C′ C)=21( 2?? aa ), g(a)=S△ A′ BC′ =21A′ C′ B′ B=B′ B= 1?a 。 1( 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 )2f a g a a a a? ? ? ? ? ? 1 [ ( 2 1 ) ( 1 ) ]2 a a a a? ? ? ? ? ? ? 1 1 1( ) 02 2 1 1a a a a? ? ?? ? ? ? ? ∴ f(a)g(a)。 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口，解題思路：圖形面積不會(huì)拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化。 例 16． 設(shè)曲線 C 的方程是 3y x x??，將 C 沿 x 軸、 y 軸正方向分別平移 t 、 s ( 0)t?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線 1C ， （ 1）寫(xiě)出曲線 1C 的方程； （ 2）證明曲線 C 與 1C 關(guān)于點(diǎn) ( , )22tsA對(duì)稱； （ 3）如果曲線 C 與 1C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明： 24tst??新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 第 30 頁(yè) 共 31 頁(yè) 解析： （ 1）曲線 1C 的方程為 3( ) ( )y x t x t s? ? ? ? ?； （ 2）證明：在曲線 C 上任意取一點(diǎn) 1 1 1( , )B x y ， 設(shè) 2 2 2( , )B x y 是 1B 關(guān)于點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)，則有 1 2 1 2,2 2 2 2x x t y y s????， ∴ 1 2 1 2,x t x y s y? ? ? ?。 代入曲線 C 的方程，得 22,xy的方程： 32 2 2( ) ( )s y t x t x? ? ? ? ?。 即 32 2 2( ) ( )y x t x t s? ? ? ? ?可知點(diǎn) 2 2 2( , )B x y 在曲線 1C 上 。 反過(guò)來(lái)，同樣證明，在曲線 1C 上的點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)在曲線 C 上 。 因此，曲線 C 與 1C 關(guān)于點(diǎn) A 對(duì)稱 。 （ 3）證明：因?yàn)榍€ C 與 1C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴方程組 33( ) ( )y x xy x t x t s? ???? ? ? ? ? ???有且僅有一組解， 消去 y ，整理得 2 2 33 3 ( ) 0tx t x t t s? ? ? ? ?，這個(gè)關(guān)于 x 的一元二次方程有且僅有一個(gè)根， ∴ 439 12 ( ) 0t t t t s? ? ? ? ? ?，即得 3( 4 4 ) 0t t t s? ? ?， 因?yàn)?0t? ，所以 34tst??。 點(diǎn)評(píng)：充 分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復(fù)合問(wèn)題。 五．思維總結(jié) 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類(lèi)函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換。 常見(jiàn)的函數(shù)數(shù)字特征有： （ 1）函數(shù)奇偶性： 奇函數(shù) )()( xfxf ??? ； 第 31 頁(yè) 共 31 頁(yè) 偶函數(shù) )()( xfxf ?? 。 （ 2）函數(shù)單調(diào)性： 單調(diào)遞增 0)()(2121 ??? xx xfxf 或 0))()()(( 2121 ??? xfxfxx ； 單調(diào)遞增 0)()(2121 ??? xx xfxf 或 0))()()(( 2121 ??? xfxfxx 。 （ 3）函數(shù)周期性 周期為 T ： )()( xfTxf ?? 或 )2()2( TxfTxf ???； （ 4）對(duì)稱性 關(guān)于 y 軸對(duì)稱： )()( xfxf ?? ； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱： )()( xfxf ??? ； 關(guān)于直線 ax? 對(duì)稱： )()( xafxaf ??? 或 )2()( xafxf ?? ； 關(guān)于點(diǎn) ),( ba 對(duì)稱： )2(2)( xafbxf ??? 或 )()( xafbbxaf ????? 。