高中數(shù)學(xué)函數(shù)：題型分類-資料下載頁
2025-08-05 18:06本頁面
【正文】 ①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③命題意圖: 本題主要考查利用復(fù)合函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)解決問題的能力.解：是偶函數(shù)，又函數(shù)開口向上且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．故能使命題甲、乙均為真的函數(shù)僅有．故選Ｃ例2．函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________.命題意圖: 本題主要考查代數(shù)式恒等變形和求復(fù)合函數(shù)的值的能力.解：由,得，所以，則.例3．①已知 求；②已知 ，求．例4．①已知 ，求； ②已知，求．點(diǎn)評(píng)：已知求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出（即用表示），再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得。例6．①已知是一次函數(shù)，滿足，求；②已知，求．點(diǎn)評(píng)：⑴ 當(dāng)已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。⑵ 若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。已知滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣. 這里主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.例1． 已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則________.命題意圖: 本題主要考查函數(shù)的解析式的求解以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用.常規(guī)解法：由f(x)為奇函數(shù),所以f(x)+f(x)=0,即應(yīng)填.巧妙解法：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,即應(yīng)填.點(diǎn)評(píng)：巧妙解法巧在利用了f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,這一重要結(jié)論.例2． ，是定義在上的函數(shù)，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的（ ）A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件命題意圖: 本題主要考查兩個(gè)函數(shù)的加法代數(shù)運(yùn)算后的單調(diào)性以及充分條件和必要條件的相關(guān)知識(shí).解 先證充分性：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以，有，所以 為偶函數(shù)．反過來，若為偶函數(shù)，不一定是偶函數(shù)．如，故選B.方法二：可以選取兩個(gè)特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證．故選B點(diǎn)評(píng)：對(duì)充要條件的論證，一定既要證充分性，又要證必要性，二著缺一不可．同時(shí)，對(duì)于抽象函數(shù)，有時(shí)候可以選取特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證．例3．對(duì)于函數(shù)y=x3, (1)畫出它的圖象，(2)寫出它的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明之. 解:由圖像知:y=x3的單調(diào)增區(qū)間為（∞，+∞）. 證明:顯然y=x3的定義域?yàn)椋ā蓿?∞）, 在R內(nèi)任取x1和x2, 使x1x2, f(x1)f(x2)=x13x23 =(x1x2)(x12+x1x2+x22)=(x1x2)[(x1+x2)2+x22] ∵x1x2,∴x1x20, 又∵(x1+x2)2≥0, x22≥0，且(x1+x2)2與x22至多一個(gè)為0， ∴ f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2), ∴函數(shù)f(x)在(∞,+∞)內(nèi)為增函數(shù). 點(diǎn)評(píng): 1．從圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象，也必須掌握，但這不夠，函數(shù)單調(diào)性的討論還必須會(huì)用定義來證明. 2．此題f(x1)f(x2)的正負(fù)的討論，易犯以下錯(cuò)誤: ∵x1x2, ∴x13x23, ∴f(x1)f(x2)0, 這種做法其實(shí)已經(jīng)用了函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)的結(jié)論，所以它是不可取的，而實(shí)現(xiàn)這種判斷還得靠實(shí)數(shù)的一些基本性質(zhì). 3．用定義證明函數(shù)的增減性的一般步驟是: (1)設(shè)x1,x2 是給定區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值，且x1x2. (2)作差f(x1)f(x2)，并將此差式變形.（有時(shí)也用作商法） (3)判斷f(x1)f(x2)的正負(fù)，從而得出判斷，（作商時(shí)判斷與1的大小關(guān)系）. 例4．設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，f(x)=x(1+x3),那么當(dāng)x∈(∞,0]時(shí)，求f(x)的表達(dá)式. 解:任取x∈(∞,0], 有x∈[0,+∞),∴f(x)=x[1+(x)3]=x(1x3), ∵f(x)是奇函數(shù)，∴ f(x)=f(x)，∴ f(x)=f(x)=x(1x3)， 即:當(dāng)x∈(∞,0]時(shí)，f(x)的表達(dá)式為x(1x3). 點(diǎn)評(píng):在求表達(dá)式時(shí)，要注意“問啥設(shè)啥”，直接在(∞,0]內(nèi)取x，可以明確問題的求解方向，不致于使關(guān)系混亂.（因?yàn)轭}目要求x∈(∞,0] 時(shí)f(x)的表達(dá)式） 例2．已知f(x)=x5+ax3+bx8，且f(2)=10,求f(2). 解:觀察函數(shù)，可知f(x)+8=x5+ax3+bx為奇函數(shù)，令F(x)=f(x)+8,有F(x)=F(x)， ∴F(2)=F(2)=[f(2)+8]=(10+8)=18 F(2)=f(2)+8=18,∴f(2)=26. 點(diǎn)評(píng):此題關(guān)鍵在于如何處理f(x)表達(dá)式中“8”這個(gè)“尾巴”，(x)=f(x)+8，就能讓這個(gè)問題利用奇函數(shù)的性質(zhì)解決. 小結(jié): 1．函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)最基本，最重要的兩類性質(zhì)，對(duì)這部分知識(shí)的靈活運(yùn)用，首先建立在透徹理解單調(diào)性，奇偶性的概念上，對(duì)于其本質(zhì)意義（即反映函數(shù)隨自變量的變化情況）要更深的理解. 2．對(duì)單調(diào)性，奇偶性的討論離不開函數(shù)的圖形，所以數(shù)形結(jié)合是討論這兩種基本性質(zhì)的重要手段. 例5已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x, 則f()的值是 A、 B、 C、 D、 解：選B?！遞(x)為偶函數(shù)，∴f(x)=f(x),又∵ f(x)是周期為2的函數(shù)，∴f(x+2)=f(x)。 ∴ f()=f(2)=f()=f()=f(+2)=f()=。 評(píng)注：對(duì)本題的思考主要集中在如何利用已知條件?！ ?[2，3]，故盡量想辦法把f()變成[2，3]內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)（為）的函數(shù)值。 例題6．設(shè)函數(shù)y=f(x) (x∈R且x≠0)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1,x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)。 (1)求證：f(1)=f(1)=0。 (2)求證：y=f(x)是偶函數(shù)； (3)已知f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù)，求適合f(x)+f(x)≤0的x的取值范圍。 證明：(1)∵f(x1x2)=f(x1)+f(x2)(x1x2≠0)，令x1=x2=1, ∴ f(1)=f(1)+f(1)=2f(1), ∴f(1)=0, 又令x1=x2=1, 得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)=0, ∴ f(1)=0。 (2)令x1=1, x2=x≠0,x是任意的，則有f(x)=f(1)+f(x)=f(x), ∴f(x)為偶函數(shù)。 (3)∵f(x1x2)=f(x1)+f(x2) (x1x2≠0)，∴ f(x)+f(x)=f(x2x)。 又 ∵f(x)+f(x)≤0, ∴ f(x2x)≤0。 ∵ f(x)為偶函數(shù)且f(1)=0, ∴ f(|x2x|)≤f(1)。 ∵ f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)， ∴ 解得≤x≤，且x≠0, x≠。 評(píng)注：特殊值法是解抽象函數(shù)方程的一種常用方法，解抽象函數(shù)方程注意求特殊值的函數(shù)值，同時(shí)也注意把函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量。本題是函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、抽象函數(shù)方程等綜合知識(shí)的相互滲透，考查學(xué)生的邏輯思維能力。 25
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