20xx高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題-資料下載頁(yè)
2025-04-04 02:43本頁(yè)面
【正文】 ,1)上是單調(diào)遞減函數(shù).函數(shù)綜合（在整個(gè)定義域內(nèi)未必單調(diào)），推廣：函數(shù)在其對(duì)稱中心兩側(cè)單調(diào)性相同。偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反，推廣：函數(shù)在其對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；此時(shí)函數(shù)值的大小取決于離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近。解“抽象不等式（即函數(shù)不等式）”多用函數(shù)的單調(diào)性，但必須注意定義域。關(guān)注具體函數(shù)“抽象化”。[舉例1]設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|xb|在（∞，0）上遞增，則f(a+1)與f(b+2) 的大小關(guān)系是(a+1)=f(b+2) (a+1)＞f(b+2) (a+1)＜f(b+2) 解析：函數(shù)f(x)=loga|xb|為偶函數(shù)，則b=0，f(x)=loga|x|,令g(x)=|x|,函數(shù)g(x)（圖象為“V”字形）在（∞，0）遞減，而函數(shù)f(x)=logag(x) 在（∞，0）上遞增,∴0a1，∴1a+12=b+2,又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且在（∞，0）上遞增，∴f(x)在（0，+）上遞減，∴f(a+1)f(b+2),故選B。[舉例2] 設(shè)函數(shù)，若≤≤時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解析：此題不宜將msin及1m代入函數(shù)的表達(dá)式，得到一個(gè)“龐大”的不等式，因?yàn)檫\(yùn)算量過(guò)大，恐怕很難進(jìn)行到底。注意到：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，原不等式等價(jià)于：，又函數(shù)f(x)遞增，∴msinm1對(duì)≤≤恒成立，分離參變量m（這是求參變量取值范圍的通法）得：m,（01 sin≤1,事實(shí)上當(dāng)sin=1時(shí)不等式恒成立，即對(duì)m沒(méi)有限制，所以無(wú)需研究）,記g()=,則mg()min，又∵01 sin≤1，∴g()min=1（當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)等號(hào)成立），∴m1。[鞏固]定義在[1，a]上的函數(shù)f(x)滿足:f(2+x)=f(2x),且在[2,5]上遞增，方程f(x)=0的一根為4，解不等式f(3+x)0[提高]定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=,且f(x)在[3，2]上是減函數(shù)，又、是鈍角三角形的兩銳角，則下列結(jié)論中正確的是: (sin)f(cos) B. f(sin)f(cos) (sin)f(sin) D. f(cos)f(cos2．關(guān)注“分段函數(shù)”。分段函數(shù)的反函數(shù)、值域一般分段求，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性一般要借助于圖象。f(x)=max{g(x),h(x)} 、f(x)=min{g(x),h(x)}也是一種分段函數(shù),作出它的圖象是研究這類函數(shù)的有效途徑。[舉例]對(duì)于函數(shù)給出下列四個(gè)命題：① 該函數(shù)的值域?yàn)閇1,1]，②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值1，③該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)，④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 上述命題中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為（ ） A、1 B、2 C、3 D、4解析：作出函數(shù)y=f(x)在[，]上的圖象如右（先分別作函數(shù)y=sinx,y=cosx的圖象，觀察圖象，保留兩者中之較“高”者）。從圖象上不難看出：該函數(shù)的值域?yàn)閇,1]，當(dāng)或時(shí)函數(shù)取得最大值1，該函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),，∴命題中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為3個(gè)，選C。[鞏固]已知是（，+）上的減函數(shù)，那么a取值范圍是 。、超越方程（不等式）的解（特別是含有參量的）、二次方程根的分布、二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)的性質(zhì)（包括值域）、含有絕對(duì)值的函數(shù)性質(zhì)、已知函數(shù)值域研究定義域等一般用函數(shù)圖象（作圖要盡可能準(zhǔn)確）。[舉例1]若在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式則的范圍是 O解析：=2sin()，∵∈，將視為一個(gè)角，∈[,],作函數(shù)在[,]上的圖象（注意：無(wú)需作函數(shù)=2sin()的圖象），容易看出，當(dāng)=+1∈[1，2時(shí)，函數(shù)與函數(shù)=+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)∈[0，1。[舉例2]不等式的解集為[1,2)，則a的值為 1解析：分別作函數(shù)和函數(shù)的圖象如右，（函數(shù)即，雙曲線在x軸上方的部分）。兩圖象交于M點(diǎn)，要使不等式解集為[1,2)，則M（2，），即。[鞏固]已知函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閇a,b]，值域?yàn)閇0，2],則a,b滿足：A．a(chǎn)=,b=1或 a=1,b=4, B．a(chǎn)=，1≤b≤4, C．≤a≤1,b=4, D. a=，1≤b≤4或≤a≤1,b=4。4. 求最值的常用方法：①單調(diào)性：研究函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)情況是求函數(shù)值域的最重要也是最根本的方法。②基本不等式：滿足條件“一正、二定、三相等”時(shí)方可使用，如果“不相等”，常用函數(shù)的單調(diào)性解決。③逆求法：用y表示x，使關(guān)于x的方程有解的y的范圍即為值域，常用于求分式函數(shù)的值域，判別式法就是其中的一種。④換元法：需要把一個(gè)式子看作一個(gè)整體即可實(shí)施換元，“三角換元”是針對(duì)“平方和 等于1”實(shí)施的，目的多為“降元”；求值域時(shí)的換元主要是為了“去根號(hào)”。⑤數(shù)形結(jié)合。[舉例1]已知函數(shù)，則其圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ） A、（1，2） B、 C、（0，2） D、不存在解析：求函數(shù)圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)即求函數(shù)當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)取得最小值，最小值是多少；此題不宜“逆求”（判別式法），因?yàn)楱S≥0不能保證x1（這是使用“判別式法”時(shí)需特別注意的）。記x+1=t,(t0),此時(shí)x=t1,設(shè)g(t)=(當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=0時(shí)等號(hào)成立，（注意這里的“換元”實(shí)質(zhì)是“整體化”的具體落實(shí)，將需要“整體化”的部分換成一個(gè)變量，比“湊”更具一般性也更易實(shí)施），選C。[舉例2]已知+，則的最小值為 解析：本題關(guān)注的取值范圍，對(duì)使用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)=177。1時(shí)等號(hào)成立，事實(shí)上：，∴等號(hào)不成立，即不能使用基本不等式。記=（0≤）, =+=g(),函數(shù)g()在（0，上遞減，∴g()min=g()=。，轉(zhuǎn)化為求某函數(shù)的值域或最值；也可以整體研究函數(shù)y=f(a,x)的最值。 [舉例] 關(guān)于x的方程22xm2x+4=0(x0)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：令2x=t,(0t1),原方程變?yōu)椋簍2mt+4=0在（0，1）上有解，這里顯然不能簡(jiǎn)單地用判別式處理，因?yàn)楱S≥0不能保證方程在（0，1）上有解，還需附加更多的條件才成，繁！事實(shí)上，求參變量范圍的問(wèn)題首先考慮的是“分離參變量”：=，所謂方程有解，即在函數(shù)的值域內(nèi)（這也是解決方程有解問(wèn)題的通法），∵t∈（0，1），∴不能使用基本不等式（等號(hào)不成立），注意到函數(shù)在（0，1）上遞減，∴∈（5，）即∈（5，）。 [遷移]若函數(shù)f(x)=loga(x2ax+3),(a0且a1)滿足:對(duì)任意x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),f(x1)f(x2)0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) C. (0,1)∪(1,) D. (1,)簡(jiǎn)答1. [鞏固] 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，得a=5,圖示可得1x≤2或4≤x3。[提高] 函數(shù)y=f(x)的周期為2，得f(x)在[0，1]上遞增，又+,移項(xiàng)得sincos,選B； [鞏固]關(guān)注兩段函數(shù)在x=1時(shí)的函數(shù)值的大小，得3. [鞏固]D；
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