全國高中數(shù)學(xué)競賽專題-三角函數(shù)-資料下載頁
2025-04-04 03:22本頁面
【正文】 8)12tan8)((3tt??????????? 12tan8)12tan81)(28tan(3t????? ??????評述：本題方法具有一定的普遍性. 仿此可證 )43t())(( ?? 2)4t(?等.【證明】 由題設(shè)知 an0，令 an=tanan, an∈ ，??????2,0?則 an= .tan2tsico1tsect11 112 nnn a????? ??因?yàn)?，a n∈ ，所以 an= ，所以 an=1???????,0?12?.0??????又因?yàn)?a0=tana1=1，所以 a0= ，所以 。4n?4?又因?yàn)楫?dāng) 0x 時(shí)，tanxx，??n注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng) x∈ 時(shí)，有 tanxxsinx，這是個(gè)熟??????2,0知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。分析：條件涉及到角 ?、 ??，而結(jié)論涉及到角 ???， .故可利用 ??????????)()(或 消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A ”入手.證法 1： ),sin(i?? ),sin()sin(???A),co(i))(cosi ???????A .cosin)tan(,0s,1| A????????從 而 .i)t(,s,|從 而 .cosin)ta(,0s1| A??????從 而?.cosin)ta(,01| A????????從 而證法 2： ??sicoi?A ).tan(sii ])n[()(i???? ).tan(sii ])n[()(ii??????.tasic])in[(s)si(???????【解】 因?yàn)?sinA+sinB=2sin cos , ①2B2siB?sinC+sin , ②3i3coi3???CC又因?yàn)?，③3sin24cos4sin2sin2i ??????BABABA12由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,3?所以 sinA+sinB+sinC≤3s in = ,當(dāng) A=B=C= 時(shí)，（sinA+sinB +sinC） max= .2 23注：三角函數(shù)的有界性、|sinx| ≤|cosx| ≤和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。證明： )],2cos()[co(2sin???????? )]sin()2sin()si([n2si, ,21co1[co1)( ,)]3s()25[s(2sin)si( ,31????????? ???????????各 項(xiàng) 相 加 得類 似 地 .1si)si( ]coco1?? .1iic[??所以， .2sin)()in(n????????評述：①類似地，有 .si)2co(1i)co()cos( ??n??? ②利用上述公式可快速證明下列各式： 2sin1coco3c2sc ??? ????? .????? .1975s9.7o等??1【證明】 若 α+β ，則 x0，由 α β0 得 cosαcos( β)=sin β,所以 0 1，2 ??sinco又 sinαs in( β)=cosβ, 所以 0 1，所以 .2incoiincosi 00???????????????????????????? ????xx若 α+β ，則 x0，由 0α β 得 cosαcos( β)=s inβ0,所以 1。2?2?2??si又 0sinαsin( β)=cos β，所以 1，nco13所以 ，得證。2sincosisincosi 00???????????????????????????? ????xx注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。1證明：①cos6176。cos42176。cos66176。cos78176。=cos6176。cos54176。cos66176。 ?54cos782?.1654cos)83(7cs21cs?????? .16s)3(1????.654cos)13(78cs????②sin1176。sin2176。sin3176?！璼in89176。=(sin1176。sin59176。sin61176。)(sin2176。sin58176。sin62176。)…(sin29176。sin31176。sin89176。)sin30176。sin60176。= 473)42???? ?????????? ? 60sin3)87sin2(si)ins)(i63sin5(si0? ?????????? 45sin)i36)(sni27)(sni18)(sni9(s3)41(i04 ?????又 )72cos1)(36s(4)36sin18(co2 ???? ??? 165)72cos3(4)72cos36???? ??165)72cos3(4)72cos3661????? ??15(4)72cos361???????即 .3sin18co??所以 .10)(89i2i45?????? ???? ????????i)45co7548in) scs4( 1co3654o723)1sisi(4242????? ???? ???? ???? ?????in8(54cos72354cos8i361)( 72cs81cso72)4(1224?????72182 in8o367284?ii5c436? ????scin)( iscc5o344
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