【正文】 xxx x??? ?；（ 2） si n ( 2 ) si n2 c o s( )si n si nA B BABAA? ? ? ?． 18 （ 3）2sinsin2coscos1 ??????? ＝ ??cos1sin? （ 4） )3tan5(t a n44cos2cos 3tan5tan ???? ?? ??? 證：（ 1）左邊 2 2 4 4 2 2 2 2 22 2 2 2 2si n c os si n c os ( si n c os ) 2 si n c os1c os si n si n c os si n 24x x x x x x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? 22 222111 sin 2 1 sin 28 4 sin 2 4 4 c os 22211 1 c os 4 1 c os 4sin 2 ( 1 c os 4 )48xx xxxxxx?? ??? ? ? ???? 4 2 (1 c o s 4 ) 2 ( 3 c o s 4 )1 c o s 4 1 c o s 4xxxx? ? ?? ? ???右邊，∴得證 ． 說明： 由等式兩邊的差異知：若選擇“從左證到右”，必定要“切化弦”；若“從右證到左”，必定要用倍角公式 ． （ 2）左邊 s in [ ( ) ] 2 c o s ( ) s ins inA B B A B AA? ? ? ?? s in ( ) c o s c o s ( ) s ins inA B A A B AA? ? ?? si n [ ( ) ] si nsi n si nA B A BAA??? ? ?右邊，∴得證 ． （ 3） 左邊＝)2c o s21(2s in)2c o s21(2c o s2s in2c o s2s in22c o s2c o s2 2 ?????????????? ＝?????co s1sin2co t2sin 2co s???＝右邊 （ 4） ： 左邊＝?? ????4cos2cos 3cos3sin5cos5sin?? ＝???? ??????? ? 4c os2c os3c os5c os 4c os2c os2s in44c os2c os3c os5c os 8s in ??? ??????＝???? ?????? ? 4c os2c os3c os5 4c os2c os2s in44c os2os3c os5c os 8s in ??? ?????? ＝?? ? 3cos5cos 2sin4 ? 右邊＝ 4(???? 3cos3sin5cos5sin ?)＝ 4?? ???? 3cos5cos 3s in5cos3cos5s in ? ???＝?? 3cos5cos 2sin4 ? ∴左邊＝右邊 即等式成立 例 △ ABC中，若 sinA cos22C ＋ sinC cos22A ＝ 23 sinB，求證： sinA＋ sinC＝ 2 sinB． 證明： ∵ sinA cos22C＋ sinC cos22A＝23sinB ∴ sinA2cos1 C?＋ sinC2cos1 A?＝23sinB ∴ sinA＋ sinC＋ sinA cosC＋ cosＡ sinC＝ 3sinB ∴ sinA＋ sinC＋ sin(A＋ C)＝ 3sinB ∵ sin(A＋ C)＝ sinB ∴ sinA＋ sinC＝ 2sinB 考點六： 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、三角函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的定義域，值域或最值問題； 三角函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性問題；常見題型為：三角函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）的充要條件的應用；尋求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；比較大小的判斷等 . 19 三角函數(shù)的周期性； 尋求 型三角函數(shù)的周期以及難度較高的含有絕對值的三角函數(shù)的周期 . 二、三角函數(shù)的圖象 基本三角函數(shù)圖象的變換； 型三角函數(shù)的圖象問題；重點是“五點法”作草圖的逆用：由給出的一段函數(shù)圖象求函數(shù)解析式； 三角函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心：尋求或應用； 利用函數(shù)圖象解決應用問題 . 三、化歸能力以及關(guān)于三角函數(shù)的認知變換水平 . 例 求下列函數(shù)的值域： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 分析： 對于形如（ 1）（ 2）（ 3）的函數(shù)求值域，基本策略是（ ⅰ ）化歸為 的值域；（ ⅱ ）轉(zhuǎn)化為 sinx（或 cosx）的二次函數(shù)；對于（ 4）（ 5）（ 6）之類含有絕對值的函數(shù)求值域，基本策略則是（ ⅰ ）在適當?shù)臈l件下考察 y2；（ ⅱ ）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理；（ ⅲ ）運用其周期性、奇偶性或函數(shù)圖象對稱性轉(zhuǎn)化 . 解： （ 1） ∵ ∴ ， 即所 求函數(shù)的值域為 . ∴ ∴ 注 意到這里 x∈ R， ， ∴ ∴ 所求函數(shù)的值域為 [－ 1， 1]. （ 3）這里 令 sinx＋ cosx＝ t 則有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此，所求函數(shù)的值域為 . （ 4）注意到這里 y0，且 ∵ ∴ 即所求 20 函數(shù)的值域為 . （ 5）注意到所給函數(shù)為偶函數(shù)，又當 ∴ 此時 同理，當 亦有 . ∴ 所求函數(shù)的值域為 . （ 6）令 則易見 f（ x）為偶函數(shù)，且 ∴ 是 f（ x）的一個正周期 . ① 只需求出 f（ x）在一個周期上的取值范圍 . 當 x∈ [0， ]時， 又注意到 ， ∴ x＝ 為 f（ x）圖象的一條對稱軸 ② ∴ 只需求出 f（ x）在 [0， ]上的最大值 . 而在 [0， ]上， 遞增 . ③ 亦遞增 ④ ∴ 由 ③④ 得 f（ x）在 [0， ]上單調(diào)遞增 . ∴ 即 ⑤ 于是由 ① 、 ② 、 ⑤ 得所求函數(shù)的值域為 . 點評： 解（ 1）（ 2）運用的是基本化歸方法；解（ 3）運用的是求解關(guān)于 sinx＋ cosx與 sinxcosx的函數(shù)值 域的特定方法；解（ 4）借助平方轉(zhuǎn)化；解（ 5）（ 6）則是利用函數(shù)性質(zhì)化繁為簡，化暗為明 .這一點在解（ 6）時表現(xiàn)得淋漓盡致 . 例 求下列函數(shù)的周期： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） 分析： 與求值域的情形相似，求三角函數(shù)的周期，首選是將所給函數(shù)化為 ＋ k的形式，而后運用已 知公式 .對于含有絕對值的三角函數(shù)，在不能利用已有認知的情況下，設(shè)法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理 . 解： （ 1） ＝ ＝ ∴ 所求最小正周期 . （ 2） ＝ ＝ ＝ ∴ 所求周期 . 21 （ 3） ＝ ＝ ＝ .注意到 的最小正周期為 ， 故所求函數(shù)的周期為 . （ 4） 注意到 3sinx 及 sinx的周期為 2 ，又 sinx≥ 0（或 sinx0）的解區(qū)間重復出現(xiàn)的最小正周期為 2 . ∴ 所求函數(shù)的周期為 2 . （ 5） 注意到 sin2x的最小正周期 ，又 sinx≥ 0（或 sinx0）的解區(qū)間重復出現(xiàn)的最小正周期 ，這里 的最小公倍數(shù)為 . ∴ 所求函數(shù)的周期 . 點評： 對于（ 5），令 則由 知， 是 f（ x）的一個正周期 .① 又 ∴ 不是 f（ x）的最小正周期 . ② 于是由 ①② 知， f（ x）的最小正周期為 . 在一般情況下，探求上述一類分段函數(shù)的周期，僅考慮各段函數(shù)的最小正周期的最小公倍數(shù)是不夠的， 還要考慮各分支中的條件區(qū)間重復出現(xiàn)的最小正周期 .雙方結(jié)合，方可能獲得正確結(jié)果 . 請大家研究 的最小正周期，并總結(jié)自己的有關(guān)感悟與經(jīng)驗 . 例 已知函數(shù)的部分圖象， （ 1）求 的值； （ 2）求函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標 . 解： （ 1）令 ，則由題意得 f（ 0）＝ 1 ∵ ∴ 注意到函數(shù)圖象在所給長度為一個周期的區(qū)間的 22 右端點橫坐標為 ，故逆用“五點作圖法” 得： 由此解得 ∴所求 ， . （ 2）由（ 1）得 令 ，解得 ， ∴ 函數(shù) f（ x）圖象的對稱 軸方程為 ； 令 解得 ， ∴ 函數(shù) f（ x）圖象的對稱中心坐標為 . 點評： 前事不忘，后事之師 .回顧運用“五點作圖法”作出所給三角函數(shù)在一個周期內(nèi)圖象的列表、描點過程，便可從中悟出所給函數(shù)圖象上的五個關(guān)鍵點橫坐標滿足的等式： 例 （ 1）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 。 （ 2）若函數(shù) 上為單調(diào)函數(shù)，則 a的最大值為 （ 3） 函數(shù) 的圖象的對稱中心是 。 函數(shù) 的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離為 。 （ 4）把 函數(shù) 的圖象向左平移 m（ m0）個單位，所得的圖象關(guān)于 y軸對稱，則 m的最小正值為 。 （ 5）對于函數(shù) ，給出四個論斷： 23 ① 它的圖象關(guān)于直線 x＝ 對稱； ② 它的圖象關(guān)于點（ ,0）對稱； ③ 它的周期為 ； ④ 它在區(qū)間〔－ ， 0〕上單調(diào)遞增 . 以其中的兩個論斷作為條件 ,余下的兩個論 斷作為結(jié)論 ,寫出你認為正確的命題 ,它是 。 分析： （ 1）這里 的遞增區(qū)間 的正號遞減區(qū)間 遞增且 ∴ 應填 （ zk? ） （ 2）由 f（ x）遞增得 易見， 由 f（ x）遞減得 當 k＝ 0時， 注意到 而不會屬于其它減區(qū)間 ， 故知這里 a的最大值為 . （ 3）（ ⅰ ）令 ∴ 所給函數(shù)圖象的對稱中心為（ ， 0） ； （ ⅱ ） ① 解法一（直接尋求） 在 ① 中令 則有 24 ② 又在 ② 中令 k＝ 0得 ， 令 k＝ 1得 ∴ 所求距離為 － 解法二（借助轉(zhuǎn)化）：注意到所求距離等于函數(shù)的最小周期的一半，又由 ① 得這一函數(shù)的最小正周期為 T＝ ，故所求距離為 . （ 4）這里 將這一函數(shù)圖象向左平移 m（ m0）個單位 ，所得圖象的函數(shù)解析式為 令 則由題設(shè)知 f（ x）為偶函數(shù) f（－ x）＝ f（ x） ∴ 所求 m的最小值為 . （ 5）為使解題的眉目清晰，首先需要認定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷只能作為結(jié)論，哪個論斷既可作為條件，又可作為結(jié)論；一般地，獨自決定圖象形狀的論斷必須作為條件，既不能決定形狀，也不能確定位置的論斷只能作為結(jié)論 .在這里， ③ 必須作為條件，而 ④ 只能作為結(jié)論 .于是這里只需考察 ① 、 ③ ② 、 ④ 與 ② 、 ③ ① 、 ④ 這兩種情形 . （ ⅰ ）考察 ① 、 ③ ② 、 ④ 是否成立 . 由 ③ 得 ，故 ；又由 ① 得 注意到 . ∴ 在 ① 、 ③ 之下， ，易知此時 ② 、④ 成立 . （ ⅱ ）考察 ② 、 ③ ① 、 ④ 是否成立 . 由 ③ 得 ，故 ； 又由 ② 得 25 注意到 . ∴ 在 ② 、 ③ 之下， ，易知此時 ① 、 ④ 成立 . 于是綜合（ ⅰ ）（ ⅱ ）得正確的命題為 ① 、 ③ ② 、 ④ 與 ② 、 ③ ① 、 ④ . 點評： 對于（ 4）利用了如下認知： ； . 對于（ 5），認定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷必須作為結(jié) 論是認知問題和簡化解題過程的關(guān)鍵，請大家注意領(lǐng)悟和把握這一環(huán)節(jié) . 例 已知 的最小正周期為 2，當 時， f（ x）取得最大值 2. （ 1）求 f（ x）的表達式； （ 2）在閉區(qū)間 上是否存在 f（ x）圖象的對稱軸？如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由 . 分析： 出于利用已知條件以及便于考察 f（ x）的圖象的對稱軸這兩方面的考慮，先將 f（ x）化為 ＋ k的形式，這是此類問題的解題的基礎(chǔ) . 解： （ 1）去 令 ， ，即 則有① 得 ② 又由 ① 知 ，注意到這里 A0且 B0，取輔助 角 ， 則由 ② 得 ③ （ 2）在 ③ 中令 解得 x＝ k＋ 26 解不等式 ④ 注意到 ， 故由 ④ 得 k＝ 5. 于是可知，在閉區(qū)間 上有且