【正文】 22A＝23sinB ∴ sinA sinC＝ 3sinB ∴ sinA＋ sinC＋ sin(A＋ C)＝ 3sinB ∵ sin(A＋ C)＝ sinB ∴ sinA＋ sinC＝ 2sinB 考點(diǎn)六： 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、三角函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的定義域，值域或最值問題； 三角函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性問題；常見題型為：三角函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）的充要條件的應(yīng)用；尋求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；比較大小的判斷等 . 19 三角函數(shù)的周期性； 尋求 型三角函數(shù)的周期以及難度較高的含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的周期 . 二、三角函數(shù)的圖象 基本三角函數(shù)圖象的變換； 型三角函數(shù)的圖象問題；重點(diǎn)是“五點(diǎn)法”作草圖的逆用：由給出的一段函數(shù)圖象求函數(shù)解析式； 三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心：尋求或應(yīng)用； 利用函數(shù)圖象解決應(yīng)用問題 . 三、化歸能力以及關(guān)于三角函數(shù)的認(rèn)知變換水平 . 例 求下列函數(shù)的值域： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 分析： 對(duì)于形如（ 1）（ 2）（ 3）的函數(shù)求值域，基本策略是（ ⅰ ）化歸為 的值域；（ ⅱ ）轉(zhuǎn)化為 sinx（或 cosx）的二次函數(shù)；對(duì)于（ 4）（ 5）（ 6）之類含有絕對(duì)值的函數(shù)求值域，基本策略則是（ ⅰ ）在適當(dāng)?shù)臈l件下考察 y2；（ ⅱ ）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理；（ ⅲ ）運(yùn)用其周期性、奇偶性或函數(shù)圖象對(duì)稱性轉(zhuǎn)化 . 解： （ 1） ∵ ∴ ， 即所 求函數(shù)的值域?yàn)? . ∴ ∴ 注 意到這里 x∈ R， ， ∴ ∴ 所求函數(shù)的值域?yàn)?[－ 1， 1]. （ 3）這里 令 sinx＋ cosx＝ t 則有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此，所求函數(shù)的值域?yàn)? . （ 4）注意到這里 y0，且 ∵ ∴ 即所求 20 函數(shù)的值域?yàn)? . （ 5）注意到所給函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng) ∴ 此時(shí) 同理，當(dāng) 亦有 . ∴ 所求函數(shù)的值域?yàn)? . （ 6）令 則易見 f（ x）為偶函數(shù)，且 ∴ 是 f（ x）的一個(gè)正周期 . ① 只需求出 f（ x）在一個(gè)周期上的取值范圍 . 當(dāng) x∈ [0， ]時(shí)， 又注意到 ， ∴ x＝ 為 f（ x）圖象的一條對(duì)稱軸 ② ∴ 只需求出 f（ x）在 [0， ]上的最大值 . 而在 [0， ]上， 遞增 . ③ 亦遞增 ④ ∴ 由 ③④ 得 f（ x）在 [0， ]上單調(diào)遞增 . ∴ 即 ⑤ 于是由 ① 、 ② 、 ⑤ 得所求函數(shù)的值域?yàn)? . 點(diǎn)評(píng)： 解（ 1）（ 2）運(yùn)用的是基本化歸方法；解（ 3）運(yùn)用的是求解關(guān)于 sinx＋ cosx與 sinxcosx的函數(shù)值 域的特定方法；解（ 4）借助平方轉(zhuǎn)化；解（ 5）（ 6）則是利用函數(shù)性質(zhì)化繁為簡(jiǎn)，化暗為明 .這一點(diǎn)在解（ 6）時(shí)表現(xiàn)得淋漓盡致 . 例 求下列函數(shù)的周期： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） 分析： 與求值域的情形相似，求三角函數(shù)的周期，首選是將所給函數(shù)化為 ＋ k的形式，而后運(yùn)用已 知公式 .對(duì)于含有絕對(duì)值的三角函數(shù)，在不能利用已有認(rèn)知的情況下，設(shè)法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理 . 解： （ 1） ＝ ＝ ∴ 所求最小正周期 . （ 2） ＝ ＝ ＝ ∴ 所求周期 . 21 （ 3） ＝ ＝ ＝ .注意到 的最小正周期為 ， 故所求函數(shù)的周期為 . （ 4） 注意到 3sinx 及 sinx的周期為 2 ，又 sinx≥ 0（或 sinx0）的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期為 2 . ∴ 所求函數(shù)的周期為 2 . （ 5） 注意到 sin2x的最小正周期 ，又 sinx≥ 0（或 sinx0）的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期 ，這里 的最小公倍數(shù)為 . ∴ 所求函數(shù)的周期 . 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于（ 5），令 則由 知， 是 f（ x）的一個(gè)正周期 .① 又 ∴ 不是 f（ x）的最小正周期 . ② 于是由 ①② 知， f（ x）的最小正周期為 . 在一般情況下，探求上述一類分段函數(shù)的周期，僅考慮各段函數(shù)的最小正周期的最小公倍數(shù)是不夠的， 還要考慮各分支中的條件區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期 .雙方結(jié)合，方可能獲得正確結(jié)果 . 請(qǐng)大家研究 的最小正周期，并總結(jié)自己的有關(guān)感悟與經(jīng)驗(yàn) . 例 已知函數(shù)的部分圖象， （ 1）求 的值； （ 2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo) . 解： （ 1）令 ，則由題意得 f（ 0）＝ 1 ∵ ∴ 注意到函數(shù)圖象在所給長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間的 22 右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，故逆用“五點(diǎn)作圖法” 得： 由此解得 ∴所求 ， . （ 2）由（ 1）得 令 ，解得 ， ∴ 函數(shù) f（ x）圖象的對(duì)稱 軸方程為 ； 令 解得 ， ∴ 函數(shù) f（ x）圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為 . 點(diǎn)評(píng)： 前事不忘，后事之師 .回顧運(yùn)用“五點(diǎn)作圖法”作出所給三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖象的列表、描點(diǎn)過程，便可從中悟出所給函數(shù)圖象上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足的等式： 例 （ 1）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 。 （ 5）對(duì)于函數(shù) ，給出四個(gè)論斷： 23 ① 它的圖象關(guān)于直線 x＝ 對(duì)稱； ② 它的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ,0）對(duì)稱； ③ 它的周期為 ； ④ 它在區(qū)間〔－ ， 0〕上單調(diào)遞增 . 以其中的兩個(gè)論斷作為條件 ,余下的兩個(gè)論 斷作為結(jié)論 ,寫出你認(rèn)為正確的命題 ,它是 。 函數(shù) 的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為 。2cos1 A?＝23sinB ∴ sinA＋ sinC＋ sinA cos22A ＝ 23 sinB，求證： sinA＋ sinC＝ 2 sinB． 證明： ∵ sinA (2)反正弦 arcsinx 、反余弦arccosx 、反正切 arctanx 的取值范圍分別是 )2,2(],0[],2,2[ ????? ?? . 在用反三角表示兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角、直線的 10 傾斜角、 1l 到 2l 的角、 1l 與 2l 的夾角以及兩向量的夾角時(shí)，你是否注意到了它們的范圍？(0, ],[0, ],[0, ]22?? ?， ? ??,0 ， [0, ),[0, ),[0, ]2???． 求角的方法： 先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)（要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）。如下圖： 18. 三角形中的有關(guān)公式： (1)內(nèi)角和定理 ：三角形三角和為 ? ， 這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！ 任意兩角和 與第三個(gè)角總互補(bǔ)， 任意兩半角和 與第三個(gè)角的 半角總互余 .銳角三角形 ? 三內(nèi)角都是銳角 ? 三內(nèi)角的余弦值為正值 ? 任兩角和都是鈍角 ? 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方 . 三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)xOyx = x 1 x = x2x 4鄰中心 |x 3 x 4 |= T /2 鄰漸近線 |x1 x 2 |= T無窮對(duì)稱中心 :由 y = 0 或 y 無意義確定y = A tan( ω x + φ )x 3無對(duì)稱軸任意一條 y 軸的垂線與正切函數(shù)圖象都相交 ,且相鄰兩交點(diǎn)的距離為一個(gè)周期！tan( )y A x????三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)xOyx = x 1 x = x 2x 4鄰中心 |x 3 x 4 |= T /2 鄰軸 |x1 x 2 |= T /2無窮對(duì)稱中心 :由 y =0 確定無窮對(duì)稱軸 :由 y = A 或 A 確定y = A sin (ω x + φ )x 34T鄰中心軸相距sin( )y A x???? 9 (2)正弦定理 ： 2sin sin sina b c RA B C? ? ?(R 為三角形外接圓的半徑 ).注意 ：① 正弦定理的一些變式： ? ? sin sin sini a b c A B C? ? ? ? ?； ? ? s in , s in , s in22abii A B CRR?? 2cR? ； ? ? 2 sin , 2 sin , 2 siniii a R A b R B b R C???； ②已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解 . (3)余弦定理 ： 2 2 22 2 2 2 c o s , c o s 2b c aa b c b c A A bc??? ? ? ?等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀 . (4)面積公式 ： 1 1 1s in ( )2 2 2aS a h a b C r a b c? ? ? ? ?（其中 r 為三角形內(nèi)切圓半徑） .如 ABC? 中，若 CBABA 22222 s ins inc o sc o ss in ??，判斷 ABC? 的形狀（答： 直角三角形 ）。 絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響 ： 一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是： 弦減半、切不變 ．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。要 特別注意 ，若由 ? ?sinyx?? 得到 ? ?sinyx????的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移 ||?? 個(gè)單位， 如（ 1） 函數(shù) 2 si n (2 ) 14yx?? ? ?的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到 sinyx? 的圖象？（答： 2 si n (2 ) 14yx?? ? ?向上平移 1個(gè)單位得 2 sin(2 )4yx???的圖象，再向左平移 8?個(gè)單位得 2sin2yx? 的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 2 倍得 2sinyx? 的圖象，最后將縱坐標(biāo)縮小到原來的 12 即得 sinyx? 的圖象）； (2) 要得到函數(shù) cos( )24xy ???的圖象，只需把函數(shù) sin2xy? 的圖象向 ___平移 ____個(gè)單位（答：左； 2? ）； （ 3） 將函數(shù) 72 sin (2 ) 13yx?? ? ?圖像，按向量 a 平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出 a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 ( , 1)6a ?? ? ? ）； （ 4） 若函數(shù) ? ? ? ?? ?c o s sin 0 , 2f x x x x ?? ? ?的圖象與直線 yk? 有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則 k 的 取值范圍是 （答： [1, 2) ） （ 5）研究函數(shù) sin( )y A x????性質(zhì)的方法：類比于研究 sinyx? 的性質(zhì) ，只需將sin( )y A x????中的 x??? 看成 sinyx? 中的 x ，但在 求 sin( )y A x????的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意 A和 ? 的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將 ? 化正。 如（ 1） 函數(shù)5 22y sin x?????????的奇偶性是 ______ （ 答 ： 偶 函 數(shù) ）； （ 2 ） 已 知 函 數(shù)3 1f ( x ) ax b si n x ( a ,b? ? ?為常數(shù)），且 57f( )? ，則 5f( )??______（答：－ 5）； （ 3）函數(shù) )c o s( s i nc o s2 xxxy ?? 的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是 __________ 、____________ （ 答 ： 128k( , )( k Z )????、 28kx ( k Z )??? ? ?）； （ 4 ） 已知3f ( x ) si n( x ) c os( x )??? ? ? ?為偶函數(shù)，求 ? 的值。 （ 2）值域 ：都是 ? ?1,1? ，對(duì) sinyx? ，當(dāng) ? ?2 2x k k Z??? ? ?時(shí)， y 取最大值 1；當(dāng)? ?32 2x k k Z??? ? ?時(shí)， y 取最小值－ 1；對(duì) cosyx? ，當(dāng) ? ?2x k k Z???時(shí)， y 取最大值 1，當(dāng) ? ?2x k k Z??? ? ?時(shí)， y 取最小值－ 1。（答： 473?? ）； （ 3） 已知 2sin 2 2 sin1 ta n k???? ?? ()42????? ，試用 k 表示 sin cos??? 的值 （答：1 k? ） 。 基本的技巧有 : （ 1）巧變角 （已知角與 特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換 . 如 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ?，2 ( )