高中數(shù)學(xué)曲線方程經(jīng)典習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-08-05 18:16本頁(yè)面
【正文】 焦點(diǎn),且一條漸近線的傾斜角為的雙曲線方程.分析:已知漸近線方程為bx177。ay=0,中心在原點(diǎn), b2x2－a2y2=λ(λ≠0),根據(jù)其他條件,確定λ的正負(fù).解:橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(177。8,0)、(0,177。4).∵雙曲線漸近線方程為x177。y=0,則可設(shè)雙曲線方程為x2－3y2=k(k≠0)，即－=1.若以(177。8,0)為焦點(diǎn),則k+=64,得k=48,雙曲線方程為－=1；若以(0,177。4)為焦點(diǎn),則－－k=16,得k=－12,雙曲線方程為－=1.18.(本小題滿分12分)如下圖，雙曲線－=1(b∈N*)的兩個(gè)焦點(diǎn)為FF2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程.解:∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差數(shù)列，∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c.又|PF1|－|PF2|=2a=4,∴|PF1|=2c+2,|PF2|=2c－2.根據(jù)中線定理有|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),∴(2c+2)2+(2c－2)22(52+c2).∴8c2+850+2c2.∴c27,即4+b27.∴b2∈N*,∴b=1.∴所求雙曲線方程為－y2=1.19.(本小題滿分12分)在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于點(diǎn)D,△ABC的垂心為H,且=.(1)求點(diǎn)H(x,y)的軌跡G的方程；(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲線G上的一點(diǎn),那么,能成等差數(shù)列嗎?若能,求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)解:∵H點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).∴=(x+2,y),=(x－2,y).由BH⊥CA知x2－4+y2=0,即+ =1,∴G的方程為+=1(y≠0).(2)解法一:顯然P、Q恰好為G的兩個(gè)焦點(diǎn),∴||+||=4,||=2.若,成等差數(shù)列,則+==1.∴||||=| |+||=4.由可得||=||=2,∴M點(diǎn)為+=1的短軸端點(diǎn).∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )或(0,－)時(shí),成等差數(shù)列.解法二:設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),顯然P、Q恰好為+ =1的兩個(gè)焦點(diǎn),∴||+||=4,| |=2.∵,成等差數(shù)列,∴+==1.由橢圓第二定義可得||=a+ex,||=a－ex,∴+==0.∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )或(0,－).∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, )或(0,－)時(shí),成等差數(shù)列.
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