高中數(shù)學經(jīng)典例題集-資料下載頁
2025-04-04 05:15本頁面
【正文】 ”是關鍵．當每個因式的系數(shù)為正值時，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負相間；也可以先決定含０的區(qū)間符號，其他各區(qū)間正負相間．在解題時要正確運用．典型例題五例5 解不等式．分析：不等式左右兩邊都是含有的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解．解：移項整理，將原不等式化為．由恒成立，知原不等式等價于．解之，得原不等式的解集為．說明：此題易出現(xiàn)去分母得的錯誤解法．避免誤解的方法是移項使一邊為０再解．另外，在解題過程中，對出現(xiàn)的二項式要注意其是否有實根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過程科學合理．典型例題六例6 設，解關于的不等式．分析：進行分類討論求解．解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為．當時，原不等式化為；當時，解得；當時，解得．∴當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．說明：解不等式時，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分與兩種情況來討論．在解出的兩根為，后，認為，這也是易出現(xiàn)的錯誤之處．這時也應分情況來討論：當時，；當時，．[來源:學科網(wǎng)ZXXK]典型例題七例7 解關于的不等式．分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然后分類討論求解．解：原不等式或由，得： 由判別式，故不等式的解是．當時，，不等式組(1)的解是，不等式組(2)的解是．當時，不等式組(1)無解，(2)的解是．綜上可知，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是．說明：本題分類討論標準“，”是依據(jù)“已知及(1)中‘，’，(2)中‘，’”確定的．解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點，也是近幾年高考的熱點．一般地，分類討論標準（解不等式）大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對應的區(qū)間的端點”去確定．本題易誤把原不等式等價于不等式．糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法．典型例題八例8 解不等式．分析：先去掉絕對值號，再找它的等價組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可．解答：去掉絕對值號得，∴原不等式等價于不等式組∴原不等式的解集為．說明：解含絕對值的不等式，關鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解．典型例題九例9 解關于的不等式．分析：不等式中含有字母，故需分類討論．但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論．解：原不等式可化為．(1)當（即或）時，不等式的解集為：；(2)當（即）時，不等式的解集為：；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：．說明：對參數(shù)進行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以分類、討論．比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，三種情況．典型例題十例10 已知不等式的解集是．求不等式的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)的正負，然后求出方程的兩根即可解之．解：(解法1)由題可判斷出，是方程的兩根，∴，．又的解集是，說明．而，∴．∴，即，即．又，∴，∴的解集為．(解法2)由題意可判斷出，是方程的兩根，∴．又的解集是，說明．而，．對方程兩邊同除以得．令，該方程即為，它的兩根為，∴，．∴，∴方程的兩根為，．∵，∴．∴不等式的解集是．說明：(1)萬變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項系數(shù)的正負，求出相應的方程的根；(2)結(jié)合使用韋達定理，本題中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系數(shù)，的關系也用，表示出來；(3)注意解法2中用“變換”的方法求方程的根．典型例題十二例12 若不等式的解為，求、的值．分析：不等式本身比較復雜，要先對不等式進行同解變形，再根據(jù)解集列出關于、式子．解：∵，∴原不等式化為．依題意，∴． 說明：解有關一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項系數(shù)的符號，結(jié)合韋達定理來解．典型例題十三例13 不等式的解集為，求與的值．[來源:Zxx]分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，．解法一：設的兩根為，由韋達定理得： 由題意：∴，此時滿足，．解法二：構造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故需滿足： ∴，．說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關系，同時還考查逆向思維的能力．對有關字母抽象問題，同學往往掌握得不好．典型例題十四例14 解關于的不等式．分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數(shù)，所以還考查分類思想．解：分以下情況討論(1)當時，原不等式變?yōu)椋海?2)當時，原不等式變?yōu)椋骸 、佗佼敃r，①式變?yōu)?，∴不等式的解為或．②當時，①式變?yōu)椋 、凇撸喈敃r，此時②的解為．當時，此時②的解為．說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解．典型例題十五例15 解不等式．分析：無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉(zhuǎn)化為或，而等價于：或．解：原不等式等價于下面兩個不等式組：① ②由①得，∴由②得∴ ，所以原不等式的解集為，即為．說明：本題也可以轉(zhuǎn)化為型的不等式求解，注意：，這里，設全集，則所求不等式的解集為的補集，由或．即，∴原不等式的解集是．
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