高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題集(已修改)
2025-04-16 05:15 本頁面
【正文】 高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題集 第一部分 (一道解析幾何題)（本題15分）已知曲線C是到點和到直線距離相等的點的軌跡，l是過點Q（1，0）的直線，M是C上（不在l上）的動點；A、B在l上，軸（如圖）。 （Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）求出直線l的方程，使得為常數(shù)。（Ⅰ）解：設(shè)為上的點，由題設(shè)得：．化簡，得曲線的方程為．ABOQyxlM（Ⅱ）解法一：設(shè)，直線，則，從而．在中，因為， ．所以 . ，．當(dāng)時，從而所求直線方程為．解法二：設(shè)，直線，則，從而． 過垂直于的直線．ABOQyxlMHl1因為，所以，．當(dāng)時，從而所求直線方程為． （不等式經(jīng)典試題）例1 若，證明（ 且）．分析1 用作差法來證明．需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明．解法1 （1）當(dāng)時，因為 ，所以 ．（2）當(dāng)時，因為 所以 ．綜合（1）（2）知．分析2 直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號．解法2 作差比較法．因為 ，所以．說明：解法一用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法二用對數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快．典型例題二例2 設(shè)，求證：分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難．考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式．證明：∵，∴∴. ∴又∵，∴.說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法).作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.典型例題三例3 對于任意實數(shù)、求證（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）分析 這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有，展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：∵ （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）兩邊同加，即： （1）又：∵ （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）兩邊同加 ∴ ∴ （2）由（1）和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．說明：此題參考用綜合法證明不等式．綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解．典型例題四例4 已知、，求證分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明．由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧．證明：∵∴ ∵，同理：。∴ 說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式．題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當(dāng)變形，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的．典型例題五例５ 已知，求證：＞0.分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程.證明一：(分析法書寫過程)為了證明＞0只需要證明＞∵∴∴＞0∴＞成立∴＞0成立證明二：(綜合法書寫過程)∵ ∴∴＞ ＞0∴＞成立∴＞0成立說明：學(xué)會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時，應(yīng)用語言敘述清楚.典型例題六例6 若，且，求證：[來源:學(xué)科網(wǎng)]分析 這個不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來尋找證明途徑．但用“分析”法證不等式，要有嚴(yán)格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）．證明：為要證只需證，即證，也就是，即證，即證，∵，∴，故即有，又 由可得成立，∴ 所求不等式成立． 說明：此題考查了用分析法證明不等式．在題目中分析法和綜合法是綜合運用的，要注意在書寫時，分析法的書寫過程應(yīng)該是：“欲證……需證……”，綜合法的書寫過程是：“因為（∵）……所以（∴）……”，即使在一個題目中是邊分析邊說明也應(yīng)該注意不要弄混．典型例題七例7 若，求證．分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡、宜用反證法．證法一：假設(shè)，則，而，故．∴．從而，∴．[來源:]∴．∴．這與假設(shè)矛盾，故．證法二：假設(shè)，則，故，即，即，這不可能．從而．證法三：假設(shè)，則．由，得，故．又，∴．∴，即．這不可能，故．說明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾．一般說來，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結(jié)論以否定語句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過頭”時，都可以考慮用反證法．典型例題八例8 設(shè)、為正數(shù)，求證．分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．證明：要證，只需證，即證，化簡得，．∵，∴．∴．∴原不等式成立．說明：1．本題證明易出現(xiàn)以下錯誤證法：，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且來討論，結(jié)果無效．2．用分析法證明數(shù)學(xué)問題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當(dāng)然相互為充要條件也可以．典型例題九例9 已知，求證．分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識，進行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進
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