高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題集-wenkub
2023-04-19 05:15:28 本頁(yè)面
【正文】 和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．說(shuō)明：此題參考用綜合法證明不等式．綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來(lái)證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來(lái)解．典型例題四例4 已知、求證分析 顯然這個(gè)題用比較法是不易證出的。分析：比較大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，然后確定大小。滿分15分．(21) （本題滿分15分）已知，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). （Ⅰ）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（Ⅰ）解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以,得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為。所以的取值范圍是。科167。（2）解法一：原不等式等價(jià)于 ∴原不等式解集為。由于由題可知因原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)即而所以，即。xx?！?說(shuō)明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式．題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的．典型例題五例５ 已知，求證：＞0.分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來(lái)證明，由于分析法的過(guò)程可以用綜合法來(lái)書寫，所以此題用兩種方法來(lái)書寫證明過(guò)程.證明一：(分析法書寫過(guò)程)為了證明＞0只需要證明＞∵∴∴＞0∴＞成立∴＞0成立證明二：(綜合法書寫過(guò)程)∵ ∴∴＞ ＞0∴＞成立∴＞0成立說(shuō)明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書寫證明過(guò)程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語(yǔ)言敘述清楚.典型例題六例6 若，且，求證：[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]分析 這個(gè)不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒(méi)有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來(lái)尋找證明途徑．但用“分析”法證不等式，要有嚴(yán)格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）．證明：為要證只需證，即證，也就是，即證，即證，∵，∴，故即有，又 由可得成立，∴ 所求不等式成立． 說(shuō)明：此題考查了用分析法證明不等式．在題目中分析法和綜合法是綜合運(yùn)用的，要注意在書寫時(shí)，分析法的書寫過(guò)程應(yīng)該是：“欲證……需證……”，綜合法的書寫過(guò)程是：“因?yàn)椋ā撸裕ā啵?，即使在一個(gè)題目中是邊分析邊說(shuō)明也應(yīng)該注意不要弄混．典型例題七例7 若，求證．分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡(jiǎn)、宜用反證法．證法一：假設(shè)，則，而，故．∴．從而，∴．[來(lái)源:]∴．∴．這與假設(shè)矛盾，故．證法二：假設(shè)，則，故，即，即，這不可能．從而．證法三：假設(shè)，則．由，得，故．又，∴．∴，即．這不可能，故．說(shuō)明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實(shí)矛盾．一般說(shuō)來(lái)，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結(jié)論以否定語(yǔ)句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過(guò)頭”時(shí)，都可以考慮用反證法．典型例題八例8 設(shè)、為正數(shù)，求證．分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．證明：要證，只需證，即證，化簡(jiǎn)得，．∵，∴．∴．∴原不等式成立．說(shuō)明：1．本題證明易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤證法：，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且來(lái)討論，結(jié)果無(wú)效．2．用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當(dāng)然相互為充要條件也可以．典型例題九例9 已知，求證．分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進(jìn)行證明．證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)．∵，∴可設(shè)，其中．∴．由，故．而，故．說(shuō)明：1．三角代換是最常見(jiàn)的變量代換，當(dāng)條件為或或時(shí)，均可用三角代換．2．用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的變量和取值的變化會(huì)影響其結(jié)果的正確性．典型例題十例10 設(shè)是正整數(shù)，求證．分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍，它的和又求不出來(lái)，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍．證明：由，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，……當(dāng)時(shí)，．∴．說(shuō)明：用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會(huì)走入困境．例如證明．由，如果從第3項(xiàng)開始放縮，正好可證明；如果從第2項(xiàng)放縮，可得小于2．當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化．放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮后便于求和．典型例題十一例11 已知，求證：．分析：欲證不等式看起來(lái)較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡(jiǎn)單”的形式，因而用分析法證明較好．證明：欲證，只須證．即要證，即要證．即要證，即要證．即要證，即．即要證 （*）∵，∴（*）顯然成立，故說(shuō)明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．分析法通常采用“欲證——只要證——即證——已知”的格式．典型例題十二例12 如果，求證：．分析：注意到不等式左邊各字母在項(xiàng)中的分布處于分離狀態(tài)，而右邊卻結(jié)合在一起，因而要尋求一個(gè)熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能（保持兩邊項(xiàng)數(shù)相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明．證明：∵ ．∴．說(shuō)明：分析時(shí)也可以認(rèn)為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式而得到的．左右兩邊都是三項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是公式的連續(xù)使用．如果原題限定，則不等式可作如下變形：進(jìn)一步可得到：．顯然其證明過(guò)程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，
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