高中數(shù)學(xué)1-3簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程-資料下載頁(yè)
2025-01-06 16:31本頁(yè)面
【正文】 示，設(shè)過(guò)點(diǎn) A (2 ，π3) 且與極軸垂直 的直線與極軸交于點(diǎn) B ，點(diǎn) P ( ρ ， θ ) 是直線上 任一點(diǎn)． 因?yàn)?∠ A O B ＝π3， OA ＝ 2 ， 所以 OB ＝ 2 c os π3＝ 1 ， 從而 c os θ ＝OBOP，即 c os θ ＝1ρ， 所以，所求的極坐標(biāo)方程為 ρ c os θ ＝ 1. 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 教材超級(jí)鏈接 ( 3) 如圖所示，設(shè) P ( ρ ， θ ) 是圓上任一點(diǎn)．當(dāng) O ， A ，P 三點(diǎn)不共線時(shí)， 在 △ O P A 中利用余弦定理得到 OA2＋ OP2－ 2 OA OP c os????????θ －π4 ＝ AP2， 所以， 1 ＋ ρ2－ 2 ρ c os????????θ －π4＝ 1 ， 即 ρ ＝ 2c os????????θ －π4. ① 當(dāng) O ， A ， P 三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為????????0 ，3 π4或????????2 ，π4，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 ① ，所以 ① 就是所求的圓的極坐標(biāo)方程． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 教材超級(jí)鏈接 ( 4) 如圖所示，設(shè) P ( ρ ， θ ) 是圓上任一點(diǎn)． 當(dāng) O 、 A 、 P 三點(diǎn)不共線時(shí)，在 △ O P A 中利用余弦定理得到 OA2＋ OP2－ 2 OA OP c os????????π2－ θ ＝ AP2， 所以 a2＋ ρ2－ 2 aρ s in θ ＝ a2， 即 ρ ＝ 2 a s in θ . ② 當(dāng) O 、 A 、 P 三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (0 ， 0) 或????????2 a ，π2，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 ② ，所以 ② 就是所求的圓的極坐標(biāo)方程． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 教材超級(jí)鏈接 3． 解 (1)ρcos θ＝ 4.(2)ρsin θ＝－ 2.(3)2ρcos θ－ 3ρsin θ－ 1＝ 0.(4)ρ2cos 2θ＝ 16. 4． 解 (1)y＝ 2.(2)2x＋ 5y－ 4＝ 0.(3)(x＋ 5)2＋ y2＝ 25. (4)(x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 5. 5 ． 解 把 ρ s in????????θ ＋π4＝22，轉(zhuǎn)化成普通方程 x ＋ y － 1 ＝ 0. ∵ 點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為??????2 ，74π . ∴ 點(diǎn) A 的直角坐標(biāo)為 ( 2 ，－ 2 ) ． ∴ 所求的距離為 d ＝| 2 － 2 － 1|2＝22. 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 教材超級(jí)鏈接 6 ． (1) 證明 由題意知，橢圓的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0) ， 設(shè) A 的極坐標(biāo)為 ( ρ1， θ ) ， B 的極坐標(biāo)為????????ρ2， θ －π2. 則 A 的直角坐標(biāo)為 ( ρ1cos θ ， ρ1sin θ ) ， B 的直角坐標(biāo)為 ( ρ2sin θ ，－ ρ2cos θ ) ， ∵ 點(diǎn) A 、 B 在橢圓上， ∴（ ρ1cos θ ）2a2 ＋（ ρ1sin θ ）2b2 ＝ 1 ， （ ρ2sin θ ）2a2 ＋（－ ρ2cos θ ）2b2 ＝ 1. ∴1ρ21＝b2cos2 θ ＋ a2sin2 θa2b2 ，1ρ22＝b2sin2 θ ＋ a2cos2 θa2b2 . ∴1| OA |2 ＋1| OB |2 ＝1ρ21＋1ρ22 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 教材超級(jí)鏈接 ∴ 1| OA | 2 ＋ 1| OB | 2 為定值． ( 2) 解 由 ( 1) 知 S △ A O B ＝12| OA || OB |＝12ρ 1 ρ 2 . 1ρ 211ρ 22＝b 2 c os 2 θ ＋ a 2 s in 2 θa 2 b 2b 2 s in 2 θ ＋ a 2 c os 2 θa 2 b 2 ＝14（ a2－ b2）2s in2 2 θ ＋ a2b2a4b4 ， ∴ ρ21 ρ22 ＝a4b414（ a2－ b2）2s in22 θ ＋ a2b2. 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 教材超級(jí)鏈接 當(dāng) s in2 2 θ ＝ 0 時(shí)， ( ρ21 ρ22 ) m a x ＝ a2b2， ∴ ( S △ A O B ) m a x ＝12ab ； 當(dāng) s in2 2 θ ＝ 1 時(shí)， ( ρ21 ρ22 ) m i n ＝4 a4b4（ a2＋ b2）2 ， ∴ ( S △ A O B ) m i n ＝122 a2b2a2＋ b2 ＝a2b2a2＋ b2 .
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