北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線與方程測(cè)試題a-資料下載頁(yè)
2024-12-03 00:16本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】時(shí)間120分鐘，滿分150分。由雙曲線的右焦點(diǎn)(3,0)知c＝3，即c2＝9，又c2＝a2＋b2，∴9＝a2＋5，即a2＝4，a＝2.∴離心率e＝ca＝32.4．如圖，共頂點(diǎn)的橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為e1，[解析]由條件知，雙曲線的漸近線與此直線平行，∴ba＝tan60°＝3，∴b＝3a，代入a2＋b2＝c2中得4a2＝c2，∴e2＝4，∵e>1，∴e＝2，消去y整理得3x2－5x＝0，∴x1＝0，x2＝53，∴y1＝－2，y2＝43.由題意知，以F的半徑的圓過(guò)點(diǎn)O，A，∴|FA|＝|FO|＝r＝4.∵AB⊥x軸，A為AB與漸近線y＝bax的交點(diǎn)，∴在Rt△ABO中，|OA|2＝OB2＋AB2＝a2＋b2＝c＝|OF|＝4，橢圓方程聯(lián)立消一元后，令Δ＝0可求得b＝±4，然后求直線l與3x－2y－16＝0的距離即得。12．在△ABC中，已知|BC|＝8，則滿足|sinC－sinB|＝12sinA的動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是。2c＝8，∴c2＝16，∴b2＝c2－a2＝12，則|PF2|＝P到左準(zhǔn)線l的距離，
【正文】 坐標(biāo)原點(diǎn) ． (1)求 E的方程 ； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn) A的動(dòng)直線 l與 E相交于 P， Q兩點(diǎn) ， 當(dāng) △ OPQ的面積最大時(shí) ， 求 l的方程 ． [解析 ] (1)設(shè) F(c,0)， 由條件知， 2c＝ 2 33 ，得 c＝ 3. 又 ca＝ 32 ，所以 a＝ 2， b2－ a2－ c2＝ 1. 故 E的方程為 x24＋ y2＝ 1. (2)當(dāng) l⊥ x軸時(shí)不合題意， 故設(shè) l： y＝ kx－ 2， P(x1， y1)， Q(x2， y2)． 將 y＝ kx－ 2代入 x24＋ y2＝ 1得 (1＋ 4k2)x2－ 16kx＋ 12＋ 0. 當(dāng) Δ＝ 16(4k2－ 3)0， 即 k234時(shí)， x1,2＝ 8k177。2 4k2－ 34k2＋ 1 從而 |PQ|＝ k2＋ 1|x1－ x2| ＝ k2＋ 14 k2－ 34k2＋ 1 . 又點(diǎn) O到直線 PQ的距離 d＝ 2k2＋ 1， 所以 △ OPQ的面積 S△ OPQ＝ 12d| PQ|＝ 4 4k2－ 34k2＋ 1 . 設(shè) 4k2－ 3＝ t，則 t0， S△ OPQ＝ 4tt2＋ 4＝ 4t＋ 4t. 因?yàn)?t＋ 4t≥ 4，當(dāng)且僅當(dāng) t＝ 2， 即 k＝ 177。 72 時(shí)等號(hào)成立，且滿足 Δ0. 此時(shí) S△ OPQmax＝ 1， 所以，當(dāng) △ OPQ的面積最大時(shí)， l的方程為 y＝ 72 x－ 2或 y＝－ 72 x－ 2. 21． 已知橢圓 C1： x24＋ y2＝ 1， 橢圓 C2以 C1的長(zhǎng)軸為短軸 ， 且與 C1有相同的離心率 ． (1)求橢圓 C2的方程 ； (2)設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn) ， 點(diǎn) A， B分別在橢圓 C1和 C2上 ， OB→ ＝ 2OA→ ， 求直線 AB的方程 ． [解析 ] (1)由已知可設(shè)橢圓 C2的方程為 y2a2＋x24＝ 1(a2)， 其離心率為 32 ，故 a2－ 4a ＝32 ，則 a＝ 4， 故橢圓 C2的方程為 y216＋x24＝ 1. (2)解法一：設(shè) A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (xA， yA)， (xB， yB)， 由 OB→ ＝ 2OA→ 及 (1)知， O、 A、 B三點(diǎn)共線且點(diǎn) A， B不在 y軸上， 因此可設(shè)直線 AB的方程為 y＝ kx. 將 y＝ kx代入 x24＋ y2＝ 1中，得 (1＋ 4k2)x2＝ 4， 所以 x2A＝ 41＋ 4k2， 將 y＝ kx代入 y216＋x24＝ 1中，得 (4＋ k2)x2＝ 16， 所以 x2B＝ 164＋ k2，又由 OB→ ＝ 2OA→ 得 x2B＝ 4x2A， 即 164＋ k2＝ 161＋ 4k2，解得 k＝ 177。1， 故直線 AB的方程為 y＝ x或 y＝－ x. 解法二：設(shè) A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (xA， yA)， (xB， yB)， 由 OB→ ＝ 2OA→ 及 (1)知， O、 A、 B三點(diǎn)共線且點(diǎn) A， B不在 y軸上， 因此可設(shè)直線 AB的方程為 y＝ kx. 將 y＝ kx代入 x24＋ y2＝ 1中，得 (1＋ 4k2)x2＝ 4， 所以 x2A＝ 41＋ 4k2， 由 OB→ ＝ 2OA→ 得 x2B＝ 161＋ 4k2， y2B＝ 16k21＋ 4k2， 將 x2B、 y2B代入 y216＋x24＝ 1中，得4＋ k21＋ 4k2＝ 1， 即 4＋ k2＝ 1＋ 4k2，解得 k＝ 177。1. 故直線 AB的方程為 y＝ x或 y＝－ x.
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