高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第三章反證法-資料下載頁(yè)
2024-11-18 08:08本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2．已知正整數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＝：a，b，問題1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？提示：a，b，c都是奇數(shù)．此時(shí)不滿足條件a2＋b2＝c2.在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定成立，與假定矛盾；與公理、定理或已被證明了的結(jié)論矛盾；[精解詳析]假設(shè)a，b，c成等差數(shù)列，即a＋c＋2ac＝4b，＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，＝0，即a＝c，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，設(shè)a＝2m＋1，則a2＝4m2＋4m＋1.∴a一定是偶數(shù).∵a，b是相交直線，∴a，b可以確定一個(gè)平面β.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c，又a∩b＝A，∴c⊥β.直線與已知直線平行.∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.中至少有一個(gè)小于2.
【正文】 下表： 原結(jié)論詞 至少有一個(gè) 至多有一個(gè) 至少有n個(gè) 至多有 n個(gè) 反設(shè)詞 一個(gè)也沒有(不存在 ) 至少有兩個(gè) 至多有n－ 1個(gè) 至少有 n＋ 1個(gè) 5 ．已知 x ， y 0 ，且 x ＋ y 2. 求證：1 ＋ xy，1 ＋ yx中至少有一個(gè)小于 2. 證明： 假設(shè)1 ＋ xy，1 ＋ yx都不小于 2. 即1 ＋ xy≥ 2 ，1 ＋ yx≥ 2. ∵ x 0 ， y 0 ， ∴ 1 ＋ x ≥ 2 y, 1 ＋ y ≥ 2 x . ∴ 2 ＋ x ＋ y ≥ 2( x ＋ y ) ， 即 x ＋ y ≤ 2 ，這與已知 x ＋ y 2 矛盾． ∴1 ＋ xy，1 ＋ yx中至少有一個(gè)小于 2. 6．用反證法證明：若函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上是增函數(shù)， 則方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [a， b]上至多有一個(gè)實(shí)根． 證明： 假設(shè)方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [a， b]上至少有兩個(gè)實(shí)根，不妨設(shè) α， β為其兩個(gè)實(shí)根，且 α＜ β，則 f(α)＝ f(β)＝ 0. 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上是增函數(shù)，又 α＜ β， 所以 f(α)＜ f(β)，這與假設(shè) f(α)＝ f(β)＝ 0相矛盾． 所以方程 f(x)＝ 0在區(qū)間 [a， b]上至多有一個(gè)實(shí)根． 用反證法證題要把握三點(diǎn)： (1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的． (2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法． (3)推導(dǎo)出來的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與定理、公理相矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．
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