北師大版選修2-1高中數學第三章圓錐曲線與方程測試題b-資料下載頁
2024-11-30 22:16本頁面
【導讀】時間120分鐘，滿分150分。[解析]k>0，c＝9－k2＝k＋3，∴k＝2.[解析]∵拋物線焦點為，∴c＝1，又橢圓的離心率e＝12，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，由雙曲線中C＝10，則有100＝a2＋b2，雙曲線漸近線方程y＝±bax，P(1,2)在y＝bax上，[解析]設正六邊形邊長為x，則|FC|＝2x，在△DEF中，|DF|＝x2＋x2－2x2cos120°＝。故可得A，B，將點A坐標代入雙曲線方程得a2＝4，故a＝2，因|PF1|＝2|PF2|，則該|PF2|＝m，∴|PF1|＝2m，又|PF1|－|PF2|＝22＝m.8．在拋物線y＝2x2上有一點P，它到Q的距離與它到拋物線焦點距離之和最小，[解析]如圖所示，易得：P′F＋PQ＝P′A′＋PQ>A′Q>AQ＝AP＋PQ＝PF＋PQ.由題意得，|AF1|＝|F1F2|＝2c＝21＋3＝4，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，∴a＝3，∴e＝ca＝23.[解析]正焦弦長為2p，∴2p＝6，∴方程為y2＝6x或y2＝－6x.點A，B．故S△OAB＝12·OF·|y1－y2|＝12×1×|43＋2|＝53.
【正文】 22 x－ 62 . 20． 如圖 ， 設 P是圓 x2＋ y2＝ 25 上的動點 ， 點 D是 P在 x軸上的投影 ， M為 PD 上一點 ， 且 |MD|＝ 45|PD|. (1)當 P在圓上運動時 ， 求點 M的軌跡 C的方程 ． (2)求過點 (3,0)且斜率為 45的直 線被 C所截線段的長度 ． [解析 ] (1)設 M的坐標為 (x， y)， P的坐標為 (xP， yP)， 由已知得????? xP＝ x，yP＝ 54y， ∵ P在圓上， ∴ x2＋ (54y)2＝ 25， 即 C的方程為 x225＋y216＝ 1. (2)過點 (3,0)且斜率為 45的直線方程為 y＝ 45(x－ 3)， 設直線與 C的交點為 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 將直 線方程 y＝ 45(x－ 3)代入 C的方程，得 x225＋?x－ 3?225 ＝ 1，即 x2－ 3x－ 8＝ 0. ∴ x1＝ 3－ 412 ， x2＝ 3＋ 412 . ∴ 線段 AB的長度為 |AB|＝ ?x1－ x2?2＋ ?y1－ y2?2＝ ?1＋ 1625??x1－ x2?2＝ 4125 41＝ 415 . 21． (2021全國大綱理 )已知拋物線 C： y2＝ 2px(p0)的焦點為 F， 直線 y＝ 4 與 y軸的交點為 P， 與 C的交點為 Q， 且 |QF|＝ 54|PQ|. (1)求 C的方程 ； (2)過 F的直線 l與 C相交于 A、 B 兩點 ， 若 AB的垂直平分線 l′ 與 C 相交于 M、 N 兩點 ， 且 A、 M、 B、 N四點在同一圓上 ， 求 l的方程 ． [解析 ] (1)設 Q(x0,4)，代入 y2＝ 2px 得 x0＝ 8p. 所以 |PQ|＝ 8p， |QF|＝ p2＋ x0＝ p2＋ 8p. 由題設得 p2＋ 8p＝ 54 8p，解得 p＝－ 2(舍去 )或 p＝ 2. 所以 C的方程為 y2＝ 4x. (2)依題意知 l與坐標軸不垂直，故可設 l的方程為 x＝ my＋ 1(m≠ 0)． 代入 y2＝ 4x得， y2－ 4my－ 4＝ 0. 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 y1＋ y2＝ 4m， y1y2＝－ 4. 故 AB的中點為 D(2m2＋ 1,2m)， |AB|＝ m2＋ 1|y1－ y2|＝ 4(m2＋ 1)． 又 l′ 的斜率為－ m，所以 l′ 的方程為 x＝－ 1my＋ 2m2＋ 3. 將上式代入 y2＝ 4x，并整理得 y2＋ 4my－ 4(2m2＋ 3)＝ 0. 設 M(x3， y3)， N(x4， y4)，則 y3＋ y4＝－ 4m， y3y4＝－ 4(2m2＋ 3)． 故 MN的中點為 E( 2m2＋ 2m2＋ 3，－ 2m)． |MN|＝ 1＋ 1m2|y3－ y4|＝ 4?m2＋ 1? 2m2＋ 1m2 . 由于 MN 垂直平分 AB，故 A、 M、 B、 N 四點在同一圓上等價于 |AE|＝ |BE|＝ 12|MN|，從而 14|AB|2＋ |DE|2＝ 14|MN|2， 即 4(m2＋ 1)2＋ (2m＋ 2m)2＋ ( 2m2＋ 2)2 ＝ 4?m2＋ 1?2?2m2＋ 1?m4 化簡得 m2－ 1＝ 0，解得 m＝ 1 或 m＝－ 1. 所求直線 l的方程為 x－ y－ 1＝ 0 或 x＋ y－ 1＝ 0.
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