高中數學北師大版選修2-1第三章《反證法》-全文預覽
【正文】 β. 設 α和 β相交于過點 A的直線 c. ∵ a⊥ α， b⊥ α， ∴ a⊥ c， b⊥ c，又 a∩b＝ A， ∴ c⊥ β. 這與 c?β矛盾． 故過點 A垂直于平面 α的直線有且只有一條，即 a是唯 一的． 4．用反證法證明：過已知直線 a外一點 A只有一條直線 b 與已知直線 a平行． 證明： 假設過點 A還有一條直線 b′與已知直線 a平行，即 b∩b′＝ A， b′∥ a. 因為 b∥ a，由平行公理知 b′∥ b. 這與假設 b∩b′＝ A矛盾，所以過直線外一點只有一條直線與已知直線平行 . [ 例 3] 已知 a ， b ， c 均為實數，且 a ＝ x2－ 2 y ＋π2， b ＝ y2－ 2 z ＋π3， c ＝ z2－ 2 x ＋π6. 求證： a ， b ， c 中至少有一個大于 0. [精解詳析 ] 假設 a， b， c都不大于 0，即 a≤0， b≤0，c≤0. 所以 a＋ b＋ c≤0. 而 a＋ b＋ c ＝??????x2－ 2 y ＋π2＋??????y2－ 2 z ＋π3＋??????z2－ 2 x ＋π6 ＝ ( x2－ 2 x ) ＋ ( y2－ 2 y ) ＋ ( z2－ 2 z ) ＋ π ＝ ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2＋ π － 3. 所以 a ＋ b ＋ c 0. 這與 a ＋ b ＋ c ≤ 0 矛盾，故 a ， b ， c 中至少有一個大于 0. [一點通 ] (1)對于否定性命題或結論中出現 “至多 ”“至少 ”“不可能 ”等字樣時，常用反證法． (2)常用的 “原結論詞 ”與 “反設詞 ”歸納如
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