北師大版選修2-1高中數(shù)學第三章圓錐曲線與方程測試題a(編輯修改稿)
2025-01-08 00:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 12＝ 1(y≠ 0)． 13． 橢圓 C1： x24＋y23＝ 1 的左準線是 l， 左 、 右焦點分別是 F F2， 拋物線 C2的準線也是 l， 一個焦點為 F2， C1與 C2的一個交點為 P， 則 |PF2|的值等于 ____________________． [答案 ] 83 [解析 ] P是橢圓上的點，則 |PF2|e1＝ |PF2|12＝ 2|PF2|＝ P到橢圓 右準線的距離， P是拋物線上的點， 則 |PF2|＝ P到左準線 l的距離， ∴ |PF2|＋ 2|PF2|＝ 2a2c＝ 8， ∴ |PF2|＝83. 14． 若橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1 過拋物線 y2＝ 8x 的焦點 ， 且與雙曲線 x2－ y2＝ 1 有相同的焦點 ，則該橢圓的方程為 __________________． [答案 ] x24＋y22＝ 1 [解析 ] 雙曲線 x2－ y2＝ 1的焦點為 (－ 2， 0)( 2， 0)，所以由條件知 a2－ b2＝ 2① 又 ∵ 拋物線的焦點為 (2,0)∴ a＝ 2， ∴ a2＝ 4， b2＝ 2， ∴ 橢圓方程 x24＋y22＝ 1. 15． 已知橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)的左焦點為 F， C與過原點的直線相交于 A， B兩點 ，連接 AF， |AB|＝ 10， |AF|＝ 6， cos∠ ABF＝ 45， 則 C的離心率 e＝ ________________. [答案 ] 57 [解析 ] 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解三角形問題 ． 在 △ ABF中，由余弦定理得， cos∠ ABF＝ |AB|2＋ |BF|2－ |AF|22|AB||BF| ， ∴ |BF|2－ 16|BF|＋ 64＝ 0， ∴ |BF|＝ 8，設右焦點為 F1， 因為直線過原點， ∴ |BF1|＝ |AF|＝ 6， ∴ 2a＝ |BF|＋ |BF1|＝ 14， ∴ a＝ 7， ∵ O為 Rt△ ABF斜邊 AB的中點， ∴ |OF|＝ 12|AB|＝ 5， ∴ c＝ 5， ∴ e＝ 57. 三、解答題 (本大題共 6 小題，共 75 分，前 4 題每 題 12 分， 20 題 13 分， 21 題 14 分 ) 16． 已知中心在坐標原點的橢圓 C經(jīng)過點 A(2,3)， 且點 F(2,0)為其右焦點 ． (1)求橢圓 C的方程 ； (2)若平行于 OA的直線 l與橢圓有公共點 ， 求直線 l在 y軸上的截距的取值范圍 ． [解析 ] (1)設橢圓方程為 x2a2＋y2a2－ 4＝ 1，代入點 A(2,3)，4a2＋9a2－ 4＝ 1，解得 a2＝ 16. ∴ 橢圓方程為 x216＋y212＝ 1. (2)設直線 l的方程 y＝ 32x＋ b，代入 x216＋y212＝ 1， 得 3x2＋ 3bx＋ b2－ 12＝ 0， Δ＝ (3b)2－ 12(b2－ 12)≥ 0， ∴ － 4 3≤ b≤ 4 3. 17． 已知圓 C： x2＋ (y－ 3)2＝ 9， 過原點作圓 C的弦 OP， 求 OP中點 Q的軌跡方程 ． [解析 ] 解法一： (直接法 ) 如圖，因為 Q是 OP的中點，所以 ∠ OQC＝ 90176。. 設 Q(x， y)，由題意，得 |OQ|2＋ |QC|2＝ |OC|2， 即 x2＋ y2＋ [x2＋ (y－ 3)2]＝ 9， 所以 x2＋ (y－ 32)2＝ 94(去掉原點 )． 解法二： (定義法 ) 如圖所示，因為 Q是 OP的中點，所以 ∠
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