蘇教版高中數(shù)學(xué)必修521數(shù)列3篇-資料下載頁(yè)
2024-11-19 19:14本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型；會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納能力；以進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)用已知去研究未知的能力。慣；并通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。幾種簡(jiǎn)單的表示方法；以觀察的形式發(fā)現(xiàn)數(shù)列可能的通項(xiàng)公式。的不足近似值排成一列數(shù)：，，，人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出它每隔83年出現(xiàn)一次，則從出現(xiàn)那次算起，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為1740，1823，1906，1989，?數(shù)依次為：20，22，24，26，?按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列的一般形式可以寫成1a，2a，3a，．．．，na，．．．，簡(jiǎn)記為??就是不同的數(shù)列；而集合中的項(xiàng)是無(wú)序的；na，其中na是數(shù)列的第n項(xiàng)。⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).,41,31,21,1的通項(xiàng)公式為)(1???
【正文】 一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第 1項(xiàng)（或者首項(xiàng)），第 2 項(xiàng)，第 3 項(xiàng)，? ，第 n 項(xiàng)，?．?dāng)?shù)列的項(xiàng)通常用字母加右下角標(biāo)表示，其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)． 數(shù)列的一般形式可以寫成 1a ， 2a ， 3a ，?， na ，? 上面的數(shù)列可簡(jiǎn)記為 }{na ．其中， na 表 示這個(gè)數(shù)列的第 n 項(xiàng)， n 表示這一項(xiàng)在數(shù)列中的位置序號(hào)， }{na 是數(shù)列的簡(jiǎn)記符號(hào)． 例如，把數(shù)列 ?????? ,1,31,21, 1 n 簡(jiǎn)記作 } 1 {n ． 分析數(shù)列①，說(shuō)明在數(shù)列的項(xiàng) na 與它的序號(hào) n 之間存在著函數(shù)關(guān)系 請(qǐng)學(xué)生觀察上面的 4 個(gè)數(shù)列 ，能不能將每個(gè)數(shù)列的第 n 項(xiàng) na 與項(xiàng)的序號(hào) n 之間的函數(shù)關(guān)系用公式來(lái)表示呢？ 3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列 }{na 的第 n 項(xiàng) na 與 n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． )(nfan ? 其中，序號(hào) n 是自變量，項(xiàng) na 是函數(shù)值， na 是項(xiàng)的序號(hào) n 在法則作用下而得到的，但值得注意的是定義域的問(wèn)題． 我們還是來(lái)看數(shù)列①，其通項(xiàng)公式為 12 ?? nna ，它的定義域是什么呢？ 數(shù)列 ① 的通項(xiàng)公式是 )64( 2 1 ?? ? na nn ；數(shù)列 ② 的通項(xiàng)公式是 ?nan1；數(shù)列 ③ 的通項(xiàng)公式是 nna )1(?? ． 于是，數(shù)列是定義在正整數(shù)集 ?N （或它的有限子集 },3,2,1{ n??? ）的函數(shù)，其值域就是項(xiàng)的集合． 雖然數(shù)列④的通項(xiàng)公式的確存在，只是用解析式不容易表示，但我們能否用函數(shù)的其他表示方法來(lái)表示呢？ 函數(shù)還有什么表示方法呢？ 4．?dāng)?shù)列的圖象 數(shù)列既然是函數(shù)，可以用圖象直觀地的表示出來(lái)，其圖象是無(wú)限個(gè)或有 限個(gè)孤立的點(diǎn)． 5．?dāng)?shù)列的分類 根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列；項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫無(wú)窮數(shù)列．上面的數(shù)列 ①② 是有窮數(shù)列，數(shù)列 ③④ 是無(wú)窮數(shù)列． 在寫數(shù)列時(shí)，對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)（有窮數(shù)列的最后一項(xiàng)叫末項(xiàng)）寫出，例如數(shù)列 12,7,5,3,1 ???? n 表示 有窮數(shù)列；如 果把數(shù)列寫成 ,9,7,5,3,1 ?或,12,7,5,3,1 ???? n ?，它就表示無(wú)窮數(shù)列（無(wú)窮數(shù)列沒有末項(xiàng)）． 【 典型例題解析 】 例 1． 根據(jù)下面數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式，寫出它的前 5項(xiàng)： ⑴1??nnan； ⑵ na nn )1(?? ． 分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第 n 項(xiàng) na 與它的位置序號(hào)之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的 n ，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)． 解： ⑴ 在通項(xiàng)公式中依次取 5,4,3,2,1?n ，得到數(shù)列 }{na 的前 5 項(xiàng)依次為65,54,43,32,21 ． ⑵ 在通項(xiàng)公式中依次取 5,4,3,2,1?n ，得到數(shù)列 }{na 的前 5項(xiàng)依次為 5,4,3,2,1 ??? ． 例 2． 根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： ⑴ 3， 6， 9， 12，? ； ⑵ 1， 3， 5， 7，? ⑶ 4， 9， 16， 25，?； ⑷ ? ⑸ ,9 9 9 9 9,9 9 9 9,9 9 9,99,9 ?； ⑹ ,54 1,43 1,32 1,21 1 ?????? ?； ⑺ ? ⑻ ? 分析：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也就是要找出數(shù)列中的項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)之間 的函數(shù)關(guān)系式，即 na 與 n 的關(guān)系． 解：⑴這個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)都是序號(hào)的 3倍，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 nan 3? ； ⑵這個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)都是序號(hào)的 2倍減去 1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 12 ?? nan ； , 524 , 415 , 38 , 23, 54 1 , ) ( , 32 1 , 21 1 ????? , 161 4 , 813 , 41 2 , 211 ⑶這個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)都是序號(hào)加 1之后取平方數(shù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 2)1( ?? nan ⑷這個(gè)數(shù)列的的前 4項(xiàng)的分母都是序號(hào)加 1，分子都是分母的平方減去 1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是 1 1)1(2? ??? nnan； ⑸各項(xiàng)分別加 1，變?yōu)????,1 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0 0,10 ，其一個(gè)通項(xiàng)公式可寫為 110 ?? nna ； ⑹這個(gè)數(shù)列的前 4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加 1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是 )1( 1)1( ??? nna nn； ⑺11)1( 1 ???? ? nna nn； ⑻nn na 21??． 注意：對(duì)于給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式這類問(wèn)題，?；瘹w為數(shù)列的各項(xiàng)中的有關(guān)元素與項(xiàng)數(shù)的相依變化規(guī)律而求之． 思考題：已 知數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式為 nnan 283 2 ?? ， n 為何值時(shí)， na 有最小值？并求出這個(gè)最小值． 分析：數(shù)列的通項(xiàng) na 與 n 之間構(gòu)成二次函數(shù)關(guān)系，可結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)去進(jìn) 行探求，同時(shí)要注意 n 的取值范圍． 解： 3196)314(3283 22 ????? nnnan? 可知，對(duì)稱軸方程為 314?n ， * Nn?? ，故 5?n 時(shí)， na 有最小值，其最小值為6552853 2 ????? ． 【 課堂鞏固練習(xí) 】 1． 課本 32頁(yè) 練習(xí) 1， 2， 3， 4
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