蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列章末知識(shí)整合-資料下載頁
2024-12-05 00:27本頁面
【導(dǎo)讀】1，－7，13，－19，25，?2，52，134，338，8116，?27，411，12，45，2，?解析：原數(shù)列的各項(xiàng)可看成數(shù)列{an}：1，－1，1，－1，?對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘的結(jié)果．。1＋120，2＋121，3＋122，4＋123，?由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式不一定唯一．如數(shù)列5，0，－5，0，5，?1n等，觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關(guān)系，從而寫。1，3，6，10，15，?，易得an＝n（n＋1）．。組成1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，易得an＝(－1)n＋1(3n. 例2設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且Sn＝32，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．?！喈?dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{an}是以3為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)a2＝3a1＝9.常因?yàn)楹雎粤薾≥2的條件而出錯(cuò)，即由an＝Sn－Sn－1求得an時(shí)的n是從2開始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n＝1時(shí)Sn－1＝S0，而與前n項(xiàng)和定義矛盾．可見由an＝Sn－Sn－1所確定的an，②－①得an＋1＝2an＋2，證明：由已知an－an－1＝3n－1，an－a1＝12＋22＋?
【正文】 3＋ ? ＋ f??? ???12 013 ＋ f??? ???12 014 . 解析： ∵ f(x)＝ x21＋ x2， ∴ f??? ???1x ＝ ??? ???1x21＋ ??? ???1x2＝11＋ x2. ∴ f(x)＋ f??? ???1x ＝ 1. S＝ f(2 014)＋ f(2 013)＋ ? ＋ f(1)＋ f??? ???12 ＋ ? ＋ f??? ???12 014 ， 又 S＝ f??? ???12 014 ＋ f??? ???12 013 ＋ ? ＋ f(1)＋ f(2)＋ ? ＋ f(2 014)， 兩式相加得 2S＝ 2 014＋ 2 013， ∴ S＝ 4 0272 . 題型 3 數(shù)列應(yīng)用題 一、與等差數(shù)列有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題 例 11 有 30根水泥電線桿 ， 要運(yùn)往 1 000米遠(yuǎn)的地方安裝 ， 在 1 000米處放一根 ， 以后每隔 50米放一根 ， 一輛汽車每次只能運(yùn)三根 ， 如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù) (完成任務(wù)回到原處 )， 那么這輛汽車的行程共為多少千米？ 分析： 讀懂題意 ， 將 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 ， 關(guān)鍵要找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差 ， 弄清 an 還是Sn. 解析： 如下圖所示 ， 假定 30根水泥電線桿存放在 M處 ， 則 a1＝ MA＝ 1 000， a2＝ MB＝ 1 050， a3＝ MC＝ 1 100， a6＝ a3＋ 503 ＝ 1 250， ? a30＝ a3＋ 1509. 由于一輛汽車每次只能裝 3根 ， 故每運(yùn)一次只能到 a3， a6， a9， ? ， a30， 這些地方 ， 這樣組成公差為 150， 首項(xiàng)為 1 100的等差數(shù)列 ， 令汽車的行程為 S， 則 S＝ 2(a3＋ a6＋ ? ＋ a30) ＝ 2(a3＋ a3＋ 1501 ＋ ? ＋ a3＋ 1509 ) ＝ 2??? ???10a3＋ 1501＋ 92 9 ＝ (千米 )， 即這輛汽車的行程為 ． ?歸納拓展 對(duì)于與等 差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題 ， 要善于發(fā)現(xiàn) “ 等差 ” 的信息 ， 如 “ 每一年比上一年多(少 )”“ 一個(gè)比一個(gè)多 (少 )” 等 ， 此時(shí)可化歸為等差數(shù)列 ， 明確已知 a1， an， n， d， Sn中的哪幾個(gè)量 ， 求哪幾個(gè)量 ， 選擇哪一個(gè)公式． ?變式遷移 11． 有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目 ， 它是每月某日存入一筆相同金額 ， 這是零存 ， 到一定時(shí)期到期 ， 可以提出全部本金 及利息 ， 這是整取 ， 它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金額 ??? ???存期＋ 12存期 （存期＋ 1） 利率 . (1)試解釋這個(gè)本利和公式． (2)若每月初存入 100元 ， 月利率為 ? ， 則到第 12 個(gè)月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一筆金額 ， 月利率是 ? ， 希望到第 12個(gè)月底取得本利和 2 000元 ，那么每月初應(yīng)存入多少錢？ 解析： (1)設(shè)每期存入金額為 A， 每期利率為 p， 存的期數(shù)為 n， 則各期利率之和為 Ap＋ 2Ap＋ 3Ap＋ ? ＋ nAp＝ 12n(n＋ 1)Ap， 連同本金可得本利和 nA＋ 12n(n＋ 1)Ap＝A??? ???n＋ 12n（ n＋ 1） p . (2)當(dāng) A＝ 100， p＝ ? ， n＝ 12 時(shí) ， 本利和＝ 100 ??? ???12＋ 121213 ? ＝ 1 (元 )． (3)將 (1)中公式變形 ， 得 A＝ 本利和n＋ 12n（ n＋ 1） p＝ 2 00012＋ 121213 ?≈ (元 )， 即每月初應(yīng)存入 ． 二、與等差、等比數(shù)列有關(guān) 的綜合應(yīng)用題 例 12 某工廠三年的生產(chǎn)計(jì)劃中 ， 從第二年起 ， 每一年比上一年增長(zhǎng)的產(chǎn)值都相同 ，三年的總產(chǎn)值為 300萬元 ， 如果第一年、第二年、第三年分別比原計(jì)劃的年產(chǎn)值多 10萬元、10 萬元、 11 萬元 ， 那么每一年比上一年的產(chǎn)值增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)都相同 ， 求原計(jì)劃中每年的產(chǎn)值． 分析： 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列 ， 弄清哪部分為等差數(shù)列或等比數(shù)列 ， 結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)求解． 解析： 由題意 得原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值組成等差數(shù)列 ， 設(shè) 為 a－ d， a， a＋ d(d＞ 0)， 則有 (a－ d)＋ a＋ (a＋ d)＝ 300， 解得 a＝ 100. 又由題意得 (a－ d)＋ 10， a＋ 10， (a＋ d)＋ 11 組成等比數(shù)列 ， ∴ (a＋ 10)2＝ [(a－ d)＋ 10][(a＋ d)＋ 11]． 將 a＝ 100代入上式 ， 得 1102＝ (110－ d)(111＋ d)， ∴ d2＋ d－ 110＝ 0， 解得 d＝ 10， 或 d＝－ 11(舍 )． ∴ 原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值分別為 90萬元、 100萬元、 110萬元． ?歸納拓展 讀懂題意 ， 將 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，找 準(zhǔn)首項(xiàng)，公比 (差 )，弄清求什么． 混合型應(yīng)用題常有兩種解法：一是歸納法 ， 歸納出前 n 次 (項(xiàng) )， 尋找規(guī)律 ， 再寫出前 n 次 (項(xiàng) )的通項(xiàng) (前 n項(xiàng)和 )， 此時(shí)要注意下標(biāo)或指數(shù)的規(guī)律．二是逆推法 ， 尋找前后兩項(xiàng)的逆推關(guān)系 ， 再從逆推關(guān)系求 an， Sn， 此時(shí)應(yīng)注意第 (n－ 1)次變到第 n次的變化過程． ?變式遷移 12． 某地房?jī)r(jià)從 2021年的 1 000元 /m2增加到十年后 2021年的 5 000元 /m2， 問平均每年增長(zhǎng)百分之幾 ？ (注意：當(dāng) x∈(0 ， )時(shí) ， ln(x＋ 1)≈x ， 取 lg 2＝ ， ln 10＝ ) 解析： 設(shè)年增長(zhǎng)率 為 x， 則每年的房?jī)r(jià)依次排列組成首項(xiàng)為 1 000， 公比為 (1＋ x)的等比數(shù)列．由題意可得 1 000(1 ＋ x)10＝ 5 000， 即 (1＋ x)10＝ 5， 取自然對(duì)數(shù)有 10ln(1＋ x)＝ ln 5＝ ln 10 lg 5＝ (1 － lg 2)＝ ， 再利用 ln(x＋ 1)≈x ，可得 x≈ ln 510 ≈ ＝ 16%. 故每年約增長(zhǎng) 16%.
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