用向量來解決立體幾何的距離問題-資料下載頁
2025-08-04 23:24本頁面
【正文】 間的距離 ||||A B ndn??注：點(diǎn)Ａ，Ｂ分別為異面直線上的 任意點(diǎn)，為它們的公共法向量 n用空間向量方法求解 nnPQ ??Q P n39。 39。 ,P Q P Q CO S P Q n? ? ? ?39。 39。 , ,d P Q P Q C O S P Q n C O S P Q n P Q? ? ? ? ? ? ?,CO S P Q n P Q nn???解法 2： d E F a b 39。P39。Q即 在 上的射影 長。 nPQ應(yīng)用： 例 2 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，側(cè)棱 AAl=4，AC=BC=2， ∠ ACB=900， E為 AB的中點(diǎn)，求異面直線EC與 AB1的距離． 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ， 則A(2,0,O)， Bl(0,2,4)， E(1,1,O)， 1AB=(2,2,4), CE =(1,1,0), AE=(1,1,0). 設(shè) n =(x， y， z)， 且 , ABn ? CEn ?設(shè) ABn? =0， CEn? =0， ∴ 2x+zy+4z=O,x+y=O， 即 z=x,y=x， 令 x=1，則 n =(1， 1， 1)， 3求線面距離 如圖 ， 直線 a∥ 平面 α ,因直線 a上任一點(diǎn)到平面 α 的距離與直線 a到平面 α 的距離相等 ， 故直線 a與平面 α 的距離為 ||||A B ndn??其中點(diǎn) A為直線 a上任一點(diǎn)， B為面 α 內(nèi)任一點(diǎn)，為面 α 的一法向量． n例 3在棱長為 2的正方體 AC,中 ， G為 AA1的中點(diǎn) ， 求BD與面 GB1D1的距離 ． 解如圖建立空間直角坐示系，則B(2,2,O),G(2,0,1)， B1(2,2,2)， D1(0,0,2)． 11BD GD11BB=(2,2,0), =(2,0,1), =(0,0,2), 設(shè)面 GB1D1的法向 量 =(x,.y,z), n則 n?11BDn?GD1=0 =0 ∴ 2x+2y=0， 2x2=O， 即 y=z， z=2x． 令 x=1． 則 =(1,1， 2)． n∴BD 與面 GB1D1的距離為 |||| 1nnBBd ?? = 6324求面面距離 如圖 ， 平面 α ∥ 平面 β ， 因平面 α 上任一點(diǎn)到 β 的距離等于兩平面的距離 ， 故兩平行平面間的距離 ||||A B ndn??，其中點(diǎn) A為面 α 內(nèi)任一點(diǎn)， B為面 β 內(nèi)任一點(diǎn)， 為面 α 或面 β 的法向量． n例 4已知正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1， 1)求證：面 ABC∥ 面 AlClD； 2)求面 ABIC與面 AlClD的距離 ． 解 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，則 A(1， O， 0)， B(1， 1， O)， C(0， 1， 0)， D(0， 0， O)， A1(1，0， 1)， B1(1， 1， 1)， Cl(O， 1，1)， D1(O， 0， 1)． 則 1DA 1DCAD=（ 1,0,1） , =（ 0,1,1） , =（ 1,0,0） . 1)證明 (略 )． 2)設(shè)面 AlC1D的法向量， =(x， y， z)， nn?1DA n?1DC=0 =0 ∴x+z= 0， y+z=O， 即 x=z， y=z，令 z=1,則 =(1， 1， 1)， ∴ 面 AB1C與面 A1C1D的距離為 n||||nnADd ??33= 三、 用向量法求二面角的大小 如圖，二面角 α lβ ，平面 α 的法向量為 ， 平面 β 的法向量為 ， ，則二面 角 α lβ 為 或 。 ????1n2n ???? 21 n,n??1n2nl ??1n2nl 例 2. 在底面是直角梯形的四棱錐 SABCD中， ∠ ABC=90186。， SA⊥ 平面 ABCD，SA=AB=BC=1， AD= 。求面 SCD與面 SAB所成二面角的正切值。 21S C A D B x y z
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