利用空間向量解立體幾何問題-資料下載頁
2025-06-07 16:39本頁面
【正文】 量，由得，取，則. 設為平面的一個法向量，由得，取,則. 由圖知該二面角為銳角，所以所求的二面角的余弦值為 異面直線成角 目錄（1）異面直線、所成的角：在空間中任取一點O，過點O分別引∥，∥，則，所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角。兩條異面直線所成角的范圍：。求法：①平移法，通過平移，使兩直線化為相交直線，然后解三角形得到。②運用向量：設直線a，b的方向向量為m，n，在異面直線a，b所成的角為，則。例2．.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，求直線AM與CN所成的角的余弦值。解法一：∵ ，∴，而||，同理，||=.如令α為所求之角，則cosα=，解法二：建立如下圖所示坐標系，把D點視作原點O，分別沿、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，1），C（0，1，0），N（1，1，）.∴=（1，1）－（1，0，0）=（0，1），=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）.故=01+0+1=，||== ，||==.∴cosα===長方體中，AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分別在AB,BC上，且EB=FB=1,求直線與所成的角的余弦值以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，則有D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2),于是,設EC1與FD1所成的角例如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2,PO=,PB⊥；解法一：平面， ，又，由平面幾何知識得：（Ⅰ）過做交于于，連結，則或其補角為異面直線與所成的角，四邊形是等腰梯形，，又，四邊形是平行四邊形。，是的中點，且，又，為直角三角形，在中，由余弦定理得故異面直線PD與所成的角的余弦值為解法二： 平面， ，又，由平面幾何知識得：以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，（Ⅰ）， ， 。若與所成的角為，則。故直線與所成的角的余弦值為四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，,求直線AC與PB所成角的余弦解：如圖所示建立空間坐標系，則A(0,0,0)，, 第 21 頁 共 21 頁
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