空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-資料下載頁
2025-08-18 16:48本頁面
【正文】 同理： …………………………13分4．如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．（1）求證：AE//平面DCF；（2）當(dāng)AB的長為何值時,二面角AEFC的大小為．【分析】（1）只要過點作的平行線即可；（2）由于點是點在平面內(nèi)的射影，只要過點作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計算問題?；蛘呓⒖臻g直角坐標(biāo)系，使用法向量的方法求解。DABEFCHG【解析】 方法一：（Ⅰ）證明：過點作交于，連結(jié)， 可得四邊形為矩形，又為矩形，所以， 從而四邊形為平行四邊形，故．因為平面，平面， 所以平面．………6分 （Ⅱ）解：過點作交的延長線于，連結(jié)． 由平面平面，得平面， 從而．所以為二面角的平面角． 在中，因為， 所以，．又因為，所以，從而，于是，因為所以當(dāng)為時，二面角的大小為………12分DABEFCyzx方法二：如圖，以點為坐標(biāo)原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)， 則，，． （Ⅰ）證明：，， 所以，從而， 所以平面．因為平面，所以平面平面． 故平面．………6分 （Ⅱ）解：因為，所以，從而 解得．所以，．設(shè)與平面垂直， 則，解得．又因為平面，所以， 得到．所以當(dāng)為時，二面角的大小為．………12分【考點】空間點、線、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何?！军c評】由于理科有空間向量的知識，在解決立體幾何試題時就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺陷，那就是空間向量的運算問題，空間向量有三個分坐標(biāo)，在進(jìn)行運算時極易出現(xiàn)錯誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用。5. 已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥176。.求： ⑴二面角B—PC—D的大小；⑵直線PB與平面PCD所成的角的大小.解：⑴∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB與CD所成的角，即∠PBA=45176。,…1分 于是PA=AB. 作BE⊥PC于E，連接ED，在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD， △ECB≌△ECD，∴∠CED=∠CEB=90176。,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.………………………4分設(shè)AB=a，則BD=PB=，PC=， BE=DE=, cos∠BED=,∠BED=120176。二面角B—PC—D的大小為120176。； ………………………6分⑵還原棱錐為正方體ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F, ∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1， ∴BF⊥平面PB1CD,………………………………8分連接PF,則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角. ……………………………………………10分BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30176。.所以就是直線PB與平面PCD所成的角為30176。. …………………12分注：也可不還原成正方體,利用體積求出點B到平面PCD的距離，或用向量法解答.，四棱錐中，底面ABCD是矩形，,點E是棱PB的中點.（1）證明：。(2)若AD=1，求二面角的大小.7． 如圖， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點 （Ⅰ）求證：AC⊥BC1； （Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．答案7.（Ⅰ）證明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC⊥BC， …………………2分又 AC⊥，且∴ AC⊥平面BCC1 ，又平面BCC1 ……………………………………4分∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：取中點，過作于，連接 …………6分是中點，∴ ，又平面∴平面，又平面，平面∴∴ 又且∴平面，平面 ………8分∴ 又∴是二面角的平面角 ……………………………………10分AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴在中，，∴ …………………………………………13分∴二面角的正切值為 …………………………………………14分解法二：以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系…………6分AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴， ，，∴，平面的法向量， …………………8分設(shè)平面的法向量，則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角的大小 …………9分則由 令，則，∴ ………………12分，則 ……………13分∵二面角是銳二面角∴二面角的正切值為 ………………………… 14分【例5】如圖，已知中，，⊥平面，、分別是、上的動點，且．（1）求證：不論為何值，總有平面⊥平面；（2）若平面與平面所成的二面角的大小為，求的值?！窘馕觥浚篈BDCEFMNxyz過點作∵⊥平面∴⊥平面又在中，∴如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系． 又在中，∴又在中，∴則 （1） 證明：∵
∴
∴
∴
又∴⊥平面 又在中，、分別是、上的動點，且∴不論為何值，都有∴⊥平面又平面不論為何值，總有平面⊥平面 （2）∵，∴,∵，∴，又∵， ， 設(shè)是平面的法向量，則 又，,∵=(0,1,0),∴令得∴，
∵ 是平面的法向量，平面與平面所成的二面角為，∴ ∴，∴或（不合題意，舍去），
故當(dāng)平面與平面所成的二面角的大小為時． 34
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