立體幾何的向量解法-資料下載頁(yè)
2024-11-09 12:27本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】問(wèn)題，無(wú)須添加輔助線。用空間向量解決的立體幾何問(wèn)題主要有。設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分為，平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行?；蛑本€a平行平面表示以為方向向量的直線與平面平行或在平面內(nèi)，因此也可以由共面向量定理證明線面平行問(wèn)題。例1、已知ABC―A1B1C1是正三棱柱，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。求二面角C－PB－D的大小。（1利用線線平行證明線面平行;例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,∠A1AB=∠A1AC，例5、如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，MD例6、在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，試在棱BB. 異面直線所成角的范圍是。體現(xiàn)了向量思想在立體幾何中的重要地位，更。體現(xiàn)了“借數(shù)言形”的數(shù)學(xué)思想。⑶注意建立坐標(biāo)系后各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)要寫對(duì)，計(jì)算要準(zhǔn)確。例3：在例2中，長(zhǎng)方體AC1的棱AB=BC=3，BB1=4，點(diǎn)E是CC1的中點(diǎn)。如例3中，易見(jiàn)是面A1C1C的法向量；
【正文】 =（ 0， 0， 4） 如例 3中，易見(jiàn) 是面 A1C1C的法向量； 注意：在求平面法向量過(guò)程中，若根據(jù)已知條件 很容易找出平面的法向量時(shí)，就無(wú)需列方 程組求了。 x y z B1 B A1 D1 C1 C D E A cos = 如圖 1中， cosθ= 圖 2中 , cosθ= cos = 評(píng)注： 用向量法求二面角的大小： 設(shè)平面 的法向量分別是 則求二面角 的大小可以轉(zhuǎn)化為求 的夾角或其補(bǔ)角。 圖 1 θ 圖 2 θ 練 習(xí)： 如圖，已知：直角梯形 OABC中， OA∥ BC， ∠ AOC=90176。 ， SO⊥ 面 OABC，且 OS=OC=BC=1， OA=2。求： ⑴ OS與面 SAB所成角 α ⑵ 二面角 B－ AS－ O的大小 ⑶異面直線 SA和 OB所成的角 則 A（ 2， 0， 0）； 于是我們有 O A B C S 解：如圖建立直角坐標(biāo)系， x y z =（ 2， 0， 1）； =（ 1， 1， 0）； =（ 1， 1， 0）； =（ 0， 0， 1）； B（ 1， 1， 0）； S（ 0， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）； O（ 0， 0， 0）； 令 x=1，則 y=1， z=2； 從而 ⑴ 設(shè)面 SAB的法向量 顯然有 O A B C S x y z 所以直線 SA與 OB所成角大小為 ⑵ .由⑴知面 SAB的法向量 =（ 1， 1， 2） 又 ∵ OC⊥ 面 AOS， ∴ 是面 AOS的法向量， 令 則有 由于所求二面角的大小等于 ∴ 二面角 B－ AS－ O的大小為 O A B C S x y z
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