空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-資料下載頁
2025-06-25 00:21本頁面
【正文】 －A1的大小為30176。，求AB的長．解：(1)證明：以A為原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a，0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.∵＝－0＋11＋(－1)1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)．又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，則y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝.(3)連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)＝(0,1,1)．設(shè)與n所成的角為θ，則cos θ＝＝ .∵二面角A－B1E－A1的大小為30176。，∴|cos θ|＝cos 30176。，即＝，解得a＝2，即AB的長為2.1．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90176。，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．解：(1)設(shè)＝a，＝b，＝c，根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且ab＝bc＝ca＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，＝b＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.＝(－a＋c)(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.2．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60176。，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)設(shè)PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝60176。，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥⊥BD.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(－1，0)，P(0,0,1)．＝(－1，0)，＝(0，－1)，＝(－1,0,0)．設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則 即因此可取n＝(，1，)．設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則∴可取m＝(0，－1，－)，cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A－PB－C的余弦值為－.3．(2013武漢模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90176。.(1)若異面直線A1B與B1C1所成的角為60176。，求棱柱的高；(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，DC1與平面A1BC1所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求sin θ的最大值．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AA1＝h(h0)，則有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，＝(－1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(1,0，－h(huán))．(1)因?yàn)楫惷嬷本€A1B與B1C1所成的角為60176。，所以cos 60176。＝，即＝，得＝，解得h＝1.(2)由D是BB1的中點(diǎn)，得D，于是＝.設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，于是由n⊥，n⊥可得即可取n＝(h,0,1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|，而|cos〈，n〉|＝＝＝.令f(h)＝＝，因?yàn)閔2＋＋9≥2＋9，當(dāng)且僅當(dāng)h2＝，即h＝時(shí)，等號成立．所以f(h)≤＝＝，故當(dāng)h＝時(shí)，sin θ的最大值為.4．如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC＝60176。，平面AA1C1C⊥面ABCD，∠A1AC＝60176。.(1)證明：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1G？若存在，求出P的位置，若不存在，說明理由．解：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60176。，∴A1O2＝AA＋AO2－2A1AAOcos 60176。＝3.∴AO2＋A1O2＝A1A2，∴AO⊥A1O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.∴以O(shè)B，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A1(0,0，)．(1)由＝(－2，0,0)，＝(0,1，)，則＝0(－2)＋10＋0＝0，∴BD⊥AA1，(2)由OB⊥面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量n1＝(1,0,0)，設(shè)n2⊥面AA1D，則設(shè)n2＝(x，y，z)，得到取n2＝(1，－1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是.(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥面DA1C1，設(shè)＝λ，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)．得P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．設(shè)n3⊥面DA1C1，則設(shè)n3＝(x3，y3，z3)，得到∴不妨取n3＝(1,0，－1)．又∵∥面DA1C1，∴n3＝0，∴－－λ＝0，∴λ＝－1.∴點(diǎn)P在C1C的延長線上且使C1C＝CP.
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