空間向量與立體幾何單元測試有答案-資料下載頁
2025-06-23 18:25本頁面
【正文】 正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是60176。.解：(1)證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC∩BD＝N，連接NE，則N，E(0,0,1)，∴＝.又A(，0)，M，∴＝.∴＝，且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.(6分)(2)設(shè)P(t，t,0)(0≤t≤)，則＝(－t，－t,1)，＝(，0,0)．又∵與所成的角為60176。.＝，解之得t＝，或t＝(舍去)．故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)．(12分)18．(14分)如圖，在圓錐PO中，已知PO＝，⊙O的直徑AB＝2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B173。PA173。C的余弦值．解： (1)證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一個法向量，則由n1＝0，n1＝0，得(4分)∴z1＝0，x1＝y(tǒng)1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一個法向量，則由n2＝0，n2＝0，得∴x2＝－z2，y2＝z2，取z2＝1，得n2＝(－，1)．∵n1n2＝(1,1,0)(－，1)＝0，∴n1⊥⊥平面PAC.(8分)(2)∵y軸⊥平面PAB.∴平面PAB的一個法向量為n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一個法向量為n2＝(－，1)．設(shè)向量n2和n3的夾角為θ，則cosθ＝＝＝.由圖可知，二面角B173。PA173。C的平面角與θ相等，∴二面角B173。PA173。C的余弦值為.(14分)15
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